Determine a equação da reta tangente à parábola y^2=16 x no ponto P(4,8).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à parábola $ y^{2} = 16x $ no ponto $ P(4,8) $. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre derivadas e retas tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular a inclinação da reta tangente nesse ponto e, em seguida, usar essa inclinação junto com as coordenadas de $ P $ para encontrar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à parábola no ponto $ P(4,8) $. Para isso, vamos usar cálculo diferencial. A inclinação da reta tangente em um ponto de uma curva é dada pela derivada da função naquele ponto.

Passo 3

Vamos começar derivando a equação da parábola em relação a $ x $. A equação é $ y^{2} = 16x $. Diferenciando ambos os lados em relação a $ x $:
x

Passo 4

Agora, isolamos $ \frac{dy}{dx} $ para encontrar a inclinação:
dydx

Passo 5

Substituímos o valor de $ y $ pelo coordenada do ponto $ P(4,8) $:
y
Então, a inclinação da reta tangente no ponto $ P $ é $ 1 $.

Passo 6

Agora que temos a inclinação $ m = 1 $ e um ponto $ P(4,8) $ pela qual a reta passa, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
m = 1
Substituindo os valores:
P(4,8)

Passo 7

Vamos simplificar a equação para a forma geral:
y - 8 = x - 4
y = x + 4

Resposta

A equação da reta tangente à parábola $ y^{2} = 16x $ no ponto $ P(4,8) $ é:
y^2 = 16x

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