Determine a equação da reta tangente à parábola
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação da reta tangente à parábola $ y^{2} = 16x $ no ponto $ P(4,8) $. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre derivadas e retas tangentes. Para resolver, vamos precisar calcular a inclinação da reta tangente nesse ponto e, em seguida, usar essa inclinação junto com as coordenadas de $ P $ para encontrar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à parábola no ponto $ P(4,8) $. Para isso, vamos usar cálculo diferencial. A inclinação da reta tangente em um ponto de uma curva é dada pela derivada da função naquele ponto.
Passo 3
Vamos começar derivando a equação da parábola em relação a $ x $. A equação é $ y^{2} = 16x $. Diferenciando ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, isolamos $ \frac{dy}{dx} $ para encontrar a inclinação:
Passo 5
Substituímos o valor de $ y $ pelo coordenada do ponto $ P(4,8) $:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto $ P $ é $ 1 $.
Passo 6
Agora que temos a inclinação $ m = 1 $ e um ponto $ P(4,8) $ pela qual a reta passa, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação para a forma geral:
Resposta
A equação da reta tangente à parábola $ y^{2} = 16x $ no ponto $ P(4,8) $ é: