Determine:
O raio da circunferência, cujo centro é o ponto C(0, 0) e que é tangente à reta 3 x- 4 y-12=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de uma circunferência cujo centro está no ponto C(0, 0) e que é tangente à reta 3x - 4y - 12 = 0. Para isso, vamos usar o conteúdo de distância entre um ponto e uma reta. Vamos precisar lembrar como calcular essa distância usando a fórmula apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a distância d entre um ponto (x0, y0) e uma reta dada por Ax + By + C = 0. A fórmula é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2
Essa distância será exatamente o raio da nossa circunferência, já que a circunferência é tangente à reta.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores na nossa equação da reta e no ponto C(0, 0). Na nossa reta 3x - 4y - 12 = 0:
  • A = 3
  • B = -4
  • C = -12
E o ponto C tem coordenadas (x0, y0) = (0, 0).

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
d = |3 cdot 0 - 4 cdot 0 - 12|raiz3^2 + (-4)^2
Simplificando o numerador:
|0 - 0 - 12| = | -12 | = 12
E o denominador:
raiz9 + 16 = raiz25 = 5

Passo 5

Agora, dividindo o numerador pelo denominador:
d = 125 = 2,4

Resposta

O raio da circunferência é 2,4 unidades.

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