Demostrar que
es solución de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função $ y = x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} , dt $ é uma solução da equação diferencial $ x y’ = y + x \sin x $. Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $ e depois substituir na equação diferencial para verificar se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Temos que $ y = x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} , dt $. Para derivar essa expressão, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Passo 3
Identificando as partes:
- $ u = x $ então $ u’ = 1 $
- $ v = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} , dt $
Para derivar $ v $, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral com limite variável é simplesmente a função dentro da integral avaliada no limite. Assim, $ v’ = \frac{\sin x}{x} $.
Passo 4
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora que temos $ y’ $, vamos substituir $ y $ e $ y’ $ na equação diferencial $ x y’ = y + x \sin x $.
Primeiro, multiplicamos $ y’ $ por $ x $:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ y $ na equação:
Então, a equação $ x y’ = y + x \sin x $ fica:
Resposta
Vimos que ambas as expressões são iguais, portanto, $ y = x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} , dt $ é realmente solução da equação diferencial $ x y’ = y + x \sin x $.