Demostrar que y=x integral0^x sen tt d t es solución de x y^prime=y+x sen x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a função $ y = x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} , dt $ é uma solução da equação diferencial $ x y’ = y + x \sin x $. Aqui, estamos lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $ e depois substituir na equação diferencial para verificar se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Temos que $ y = x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} , dt $. Para derivar essa expressão, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.

Passo 3

Identificando as partes:
  • $ u = x $ então $ u’ = 1 $
  • $ v = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} , dt $
Para derivar $ v $, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que a derivada de uma integral com limite variável é simplesmente a função dentro da integral avaliada no limite. Assim, $ v’ = \frac{\sin x}{x} $.

Passo 4

Agora, aplicando a regra do produto:
y' = u' cdot v + u cdot v' = 1 cdot ( integral0^x sin tt , dt ) + x cdot ( sin xx )
Simplificando, temos:
y' = integral0^x sin tt , dt + sin x

Passo 5

Agora que temos $ y’ $, vamos substituir $ y $ e $ y’ $ na equação diferencial $ x y’ = y + x \sin x $.
Primeiro, multiplicamos $ y’ $ por $ x $:
y'

Passo 6

Agora, vamos substituir $ y $ na equação:
y
Então, a equação $ x y’ = y + x \sin x $ fica:
y = x integral0^x sin tt , dt

Resposta

Vimos que ambas as expressões são iguais, portanto, $ y = x \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} , dt $ é realmente solução da equação diferencial $ x y’ = y + x \sin x $.

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