A reta que passa pelo ponto (1,2) e pelo baricentro do triângulo com vértices em \mathrm{A}(1,0), \mathrm{B}(2,1) e \mathrm{C}(3,4) corresponde à reta cuja equação cartesiana é
A) x+3 y=7.
A) x-y=-1.
B) 2 x-y=2.
C) x-y=1.
D) 3 x-y=5

Passo 1

O enunciado dá os seguintes pontos:
  • Ponto dado: (1,2).
  • Vértices do triângulo: A(1,0), B(2,1) e C(3,4).
O que é pedido: determinar a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e pelo baricentro (centroide) do triângulo com vértices A, B e C. A resposta deve ser comparada com as alternativas fornecidas.

Passo 2

Fórmula do baricentro (centroide) de um triângulo: se os vértices têm coordenadas A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) e C(x_C,y_C), então o baricentro G tem coordenadas
G\!\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\;\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).
Aqui cada variável significa:
  • x_A,x_B,x_C são as abscissas dos vértices;
  • y_A,y_B,y_C são as ordenadas dos vértices;
  • a divisão por 3 faz a média aritmética das três coordenadas, porque o baricentro é o ponto médio médio dos vértices.
Agora aplicando aos dados:
x_G=\frac{1+2+3}{3}=\frac{6}{3}=2, \qquad y_G=\frac{0+1+4}{3}=\frac{5}{3}.
Logo o baricentro é G\bigl(2,\tfrac{5}{3}\bigr).
(Eu peguei as coordenadas dos vértices do enunciado para calcular x_G e y_G.)

Passo 3

Agora precisamos da equação da reta que passa por (1,2) e por G\bigl(2,\tfrac{5}{3}\bigr).
Primeiro calculamos o coeficiente angular (inclinação) m da reta entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), usando a fórmula
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
onde m é a variação em y dividida pela variação em x.
Tomando (x_1,y_1)=(1,2) e (x_2,y_2)=\bigl(2,\tfrac{5}{3}\bigr),
m=\frac{\tfrac{5}{3}-2}{2-1}=\frac{\tfrac{5}{3}-\tfrac{6}{3}}{1}=\frac{-\tfrac{1}{3}}{1}=-\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da reta: para uma reta de coeficiente angular m passando por (x_0,y_0),
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo m=-\tfrac{1}{3} e o ponto (1,2),
y-2=-\tfrac{1}{3}(x-1).
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
3(y-2)=-(x-1).
Desenvolvendo os dois lados:
3y-6=-x+1.
Reorganizando para obter a forma cartesiana padrão:
x+3y-7=0.
Ou equivalentemente
x+3y=7.

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a equação obtida \,x+3y=7, corresponde à alternativa A (a primeira listada).

Resposta

x+3y=7

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