A reta que passa pelo ponto
e pelo baricentro do triângulo com vértices em
e
corresponde à reta cuja equação cartesiana é
A)
.
A)
.
B)
.
C)
.
D)
A)
A)
B)
C)
D)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes pontos:
- Ponto dado:
. - Vértices do triângulo:
, e .
O que é pedido: determinar a equação da reta que passa pelo ponto
e pelo baricentro (centroide) do triângulo com vértices
,
e
. A resposta deve ser comparada com as alternativas fornecidas.
Passo 2
Fórmula do baricentro (centroide) de um triângulo: se os vértices têm coordenadas
,
e
, então o baricentro
tem coordenadas
Aqui cada variável significa:
-
são as abscissas dos vértices; -
são as ordenadas dos vértices; - a divisão por
faz a média aritmética das três coordenadas, porque o baricentro é o ponto médio médio dos vértices.
Agora aplicando aos dados:
Logo o baricentro é
.
(Eu peguei as coordenadas dos vértices do enunciado para calcular e
.)
(Eu peguei as coordenadas dos vértices do enunciado para calcular
Passo 3
Agora precisamos da equação da reta que passa por
e por
.
Primeiro calculamos o coeficiente angular (inclinação)
da reta entre dois pontos
e
, usando a fórmula
onde
é a variação em
dividida pela variação em
.
Tomando
e
,
Passo 4
Usamos a forma ponto-inclinação da reta: para uma reta de coeficiente angular
passando por
,
Substituindo
e o ponto
,
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Desenvolvendo os dois lados:
Reorganizando para obter a forma cartesiana padrão:
Ou equivalentemente
Passo 5
Comparando com as alternativas fornecidas, a equação obtida
, corresponde à alternativa A (a primeira listada).