Considere um hexágono regular (polígono com 6 lados). Como podemos demonstrar que a soma dos ângulos internos de um polígono de nnn lados é dada pela fórmula
?
Passo 1
A questão pede para mostrar que, num polígono convexo de n lados, a soma dos ângulos internos vale
. Vamos começar vendo o caso do hexágono (n=6) e depois generalizar.
Passo 2
No hexágono, escolha um vértice qualquer e desenhe diagonais ligando-o a todos os outros vértices não adjacentes. Essas diagonais dividem o hexágono em (6-2)=4 triângulos. Aqui usamos o fato de que, em um polígono convexo, as diagonais traçadas a partir de um vértice particionam toda a região interna em triângulos.
Passo 3
Cada triângulo tem soma dos ângulos internos igual a 180° (propriedade fundamental dos triângulos na geometria euclidiana). Logo, somando os ângulos dos 4 triângulos, obtemos
Passo 4
Agora generalizamos para um polígono convexo de
lados. Ao traçar todas as diagonais a partir de um vértice, dividimos o polígono em
triângulos. Como cada triângulo soma 180°, a soma total dos ângulos internos do polígono é