Considere a parábola no espaço
parametrizada por
;
e o campo vetorial
Calcule
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no espaço, que é uma parábola parametrizada por
, onde
varia de
a
. Também temos um campo vetorial . Nosso objetivo é calcular a integral de linha
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Quando temos uma curva parametrizada por
, a derivada dessa função em relação a
nos dá o vetor tangente à curva, ou seja,
. Neste caso, como
, então:
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar o campo vetorial
na parametrização da curva. Isso significa substituir
,
e
na expressão de
por
,
e
, respectivamente:
Passo 4
A integral de linha
se transforma em uma integral de
a
da função escalar resultante do produto escalar entre
e
:
Passo 5
Agora, nossa integral fica:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Para resolver , fazemos uma substituição:
Deixe , então
, ou seja,
.
Deixe
Substituindo:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral de linha é igual a
.