Considere a parábola no espaço C7 parametrizada por varphi(t)=(t, t, t^2); t in[0, pi2] e o campo vetorial F(x, y, z)=(cos (y), cos (x), sen(zpi))
Calcule integralC7 F cdot d r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva no espaço, que é uma parábola parametrizada por varphi(t) = (t, t, t^2), onde t varia de 0 a pi2. Também temos um campo vetorial . Nosso objetivo é calcular a integral de linha F(x, y, z) = (cos(y), cos(x), sen(zpi)). Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é dr. Quando temos uma curva parametrizada por varphi(t) = (x(t), y(t), z(t)), a derivada dessa função em relação a t nos dá o vetor tangente à curva, ou seja, varphi'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)). Neste caso, como varphi(t) = (t, t, t^2), então:
varphi'(t) = ( ddt t, ddt t, ddt t^2 ) = (1, 1, 2t)
Então, dr = varphi'(t) dt = (1, 1, 2t) dt.

Passo 3

Agora, precisamos expressar o campo vetorial F na parametrização da curva. Isso significa substituir x, y e z na expressão de F por t, t e t^2, respectivamente:

Passo 4

A integral de linha integralC7 F cdot dr se transforma em uma integral de t = 0 a t = pi2 da função escalar resultante do produto escalar entre F(varphi(t)) e varphi'(t):

Passo 5

Agora, nossa integral fica:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Para resolver , fazemos uma substituição:
Deixe 2integral0^pi2 cos(t) dt = 2 [sen(t)]0^pi2 = 2 [sen(pi2) - sen(0)] = 2 [1 - 0] = 2 , então integral t sen(t^2pi) dt, ou seja, u = t^2pi.
Substituindo:
Sabemos que du = 2tpi dt e t dt = pi2 du, então:
2 cdot pi2 integral0^pi2 sen(u) du = pi [ -cos(u) ]0^pi^24pi = pi [ -cos(pi4) + cos(0) ]

Resposta

A integral de linha é igual a 2 + pi (1 - dfracraiz22).

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