Considere a hipérbole x cdot y=1 e a reta, tangente à ela no ponto x=2 a, onde a>0. A área do triângulo formado pela reta tangente, o eixo x e o eixo y, vale:
times 2
b) 2 a^2
c) 4 a^2
d) 14

Passo 1

A questão dá a hipérbole xy = 1 e pede a reta tangente a essa curva no ponto em que x = 2a (logo y = 1/(2a)) e, em seguida, a área do triângulo que essa reta forma com os eixos coordenados. Vamos usar derivada implícita para achar o coeficiente angular, depois montar a equação da reta e, por fim, calcular interseções e área.

Passo 2

Derivada implícita de xy = 1: aplicando d/dx em ambos os lados, temos y + x·y′ = 0, logo y′ = −y/x. No ponto em que x = 2a e y = 1/(2a), o coeficiente angular é m = −(1/(2a))/(2a) = −1/(4a²). Assim, a reta tangente é
y - 12a = -14a^2,(x - 2a)

Passo 3

Para encontrar a interseção com o eixo y, ponha x = 0 em y - tfrac12a = -tfrac14a^2(x - 2a):
y = 12a + 2a4a^2 = 12a + 12a = 1a

Passo 4

Para a interseção com o eixo x, ponha y = 0 na mesma equação:
-12a = -14a^2(x - 2a) implies x - 2a = 2a implies x = 4a

Passo 5

Os vértices do triângulo são (4a, 0) e (0, 1/a). A área é
A = 12times (4a) times 1a = 2

Resposta

2

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