Considere a hipérbole
e a reta, tangente à ela no ponto
, onde
. A área do triângulo formado pela reta tangente, o eixo
e o eixo
, vale:
b)
c)
d)
b)
c)
d)
Passo 1
A questão dá a hipérbole xy = 1 e pede a reta tangente a essa curva no ponto em que x = 2a (logo y = 1/(2a)) e, em seguida, a área do triângulo que essa reta forma com os eixos coordenados. Vamos usar derivada implícita para achar o coeficiente angular, depois montar a equação da reta e, por fim, calcular interseções e área.
Passo 2
Derivada implícita de xy = 1: aplicando d/dx em ambos os lados, temos y + x·y′ = 0, logo y′ = −y/x. No ponto em que x = 2a e y = 1/(2a), o coeficiente angular é m = −(1/(2a))/(2a) = −1/(4a²). Assim, a reta tangente é
Passo 3
Para encontrar a interseção com o eixo y, ponha x = 0 em
:
Passo 4
Para a interseção com o eixo x, ponha y = 0 na mesma equação:
Passo 5
Os vértices do triângulo são (4a, 0) e (0, 1/a). A área é
Resposta
2