Considere a curva plana, descrita pela equação arctg(2 x y)=2 x+2 y. A equação da reta tangente à tal curva, no ponto p=(0,0) é
a) 2 x+2 y=1
b) 2 x-2 y=1
  • x+y=0
    d) x-y=0

Passo 1

O enunciado dá uma curva implícita arctan(2xy)=2x+2y e pede a reta tangente em p=(0,0). O conteúdo principal aqui é derivada implícita para encontrar y' e depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
ddxl(arctan(2xy)r)=11+(2xy)^2cdotddx(2xy)
11+(2xy)^2(2y+2x,y)=2+2y'

Passo 3

Agora avaliamos essa expressão no ponto (0,0). Note que x=0 e y=0 fazem 1+(2xy)^2=1 e 2y+2x y'=0. Assim:
0=2+2y'Longrightarrow y'=-1

Passo 4

Com a derivada y'=-1 e o ponto (0,0), a reta tangente é dada por
y-0=-1,(x-0)
ou seja y=-x, que em forma padrão fica x+y=0.

Resposta

x+y=0

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