A diferença das distâncias de um ponto P(x, y) das diretrizes
x=5 \quad \text { e } \quad x=-5
é constante e igual a 6 .
(a) Mostre que a curva é uma hipérbole.
(b) Determine sua equação reduzida na forma padrão.

Passo 1

Dados do enunciado (interpretação necessária):
  • Foi dito “a diferença das distâncias de um ponto P(x,y) das diretrizes x=5 e x=-5 é constante e igual a 6”. Vou interpretar aqui que o enunciado quis dizer as distâncias de P aos pontos (focos) F_1=(5,0) e F_2=(-5,0) — essa interpretação é a que leva a uma hipérbole clássica.

    O que o problema pede:

    (a) Mostrar que a curva definida por essa condição é uma hipérbole.
    (b) Determinar a sua equação reduzida (forma padrão).

Passo 2

Escrevendo as distâncias do ponto P(x,y) aos dois focos usando a fórmula da distância entre pontos:
  • Distância até F_1=(5,0): \;d_1=\sqrt{(x-5)^2+y^2}.
  • Distância até F_2=(-5,0): \;d_2=\sqrt{(x+5)^2+y^2}.

    A condição do enunciado (diferença constante igual a 6) fica, usando valor absoluto para permitir as duas ramos,
\bigl|d_1-d_2\bigr|=6.

Passo 3

Tratamento do valor absoluto: as duas possibilidades \;d_1-d_2=6 ou \;d_2-d_1=6 representam os dois ramos simétricos da mesma hipérbole. Vou resolver uma delas (por exemplo \;d_1-d_2=6); a outra dá a mesma equação final por simetria. Então partimos de
\sqrt{(x-5)^2+y^2}-\sqrt{(x+5)^2+y^2}=6.

Passo 4

Isolando uma raiz e quadrando (passo a passo):
\sqrt{(x-5)^2+y^2}=6+\sqrt{(x+5)^2+y^2}.
Agora elevamos ao quadrado ambos os lados (atenção: ao quadrar, prestar atenção ao domínio, mas vamos ver que a manipulação algebraica leva à equação buscada):
(x-5)^2+y^2 = 36 + (x+5)^2+y^2 + 12\sqrt{(x+5)^2+y^2}.
Cancelamos y^2 dos dois lados e expandimos (x-5)^2 e (x+5)^2:
(x-5)^2-(x+5)^2 = 36 + 12\sqrt{(x+5)^2+y^2}.
Calcule o lado esquerdo:
(x-5)^2-(x+5)^2 = (x^2-10x+25) - (x^2+10x+25) = -20x.
Portanto:
-20x = 36 + 12\sqrt{(x+5)^2+y^2}.

Passo 5

Isolamos a raiz:
12\sqrt{(x+5)^2+y^2} = -20x - 36.
Podemos simplificar dividindo por 4:
3\sqrt{(x+5)^2+y^2} = -5x - 9.
Observe que o lado direito deve ser não-negativo (porque o lado esquerdo é \ge 0), o que impõe uma restrição sobre x; isso corresponde ao conjunto de pontos de um ramo. Agora elevamos ao quadrado novamente:
9\bigl((x+5)^2+y^2\bigr) = ( -5x - 9 )^2.

Passo 6

Expandimos ambos os lados e simplificamos cuidadosamente:
9\bigl(x^2 + 10x + 25 + y^2\bigr) = 25x^2 + 90x + 81.
Expansão do lado esquerdo:
9x^2 + 90x + 225 + 9y^2 = 25x^2 + 90x + 81.
Agora subtraímos 9x^2+90x+225+9y^2 de ambos os lados:
0 = 25x^2 + 90x + 81 - (9x^2 + 90x + 225 + 9y^2).
Simplificando termos semelhantes:
0 = (25x^2 - 9x^2) + (90x - 90x) + (81 - 225) - 9y^2,
0 = 16x^2 + 0x -144 - 9y^2.
Ou seja:
16x^2 - 9y^2 - 144 = 0.

Passo 7

Colocando na forma padrão dividindo por 144 (para ficar com 1 no lado direito):
\frac{16x^2}{144} - \frac{9y^2}{144} = 1.
Simplificando as frações:
\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1.

Passo 8

Interpretação final e verificação dos parâmetros da hipérbole:
  • A equação obtida é da forma \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, ou seja, é uma hipérbole com eixo transverso ao longo do eixo x.
  • Identificamos a^2=9 (portanto a=3) e b^2=16 (portanto b=4).
  • Os focos dessa hipérbole ficam em x=\pm c com c^2=a^2+b^2. Calculando c:
c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25 \quad\Rightarrow\quad c=5,
o que coincide com os focos (\pm 5,0) usados na condição inicial — consistência confirmada.

Resposta

É uma hipérbole.
\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1

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