A diferença das distâncias de um ponto P(x, y) das diretrizes
x=5 \quad \text { e } \quad x=-5
é constante e igual a 6 .
(a) Mostre que a curva é uma hipérbole.
(b) Determine sua equação reduzida na forma padrão.
Passo 1
Dados do enunciado (interpretação necessária):
Foi dito “a diferença das distâncias de um ponto P(x,y) das diretrizes x=5 e x=-5 é constante e igual a 6”. Vou interpretar aqui que o enunciado quis dizer as distâncias de P aos pontos (focos) F_1=(5,0) e F_2=(-5,0) — essa interpretação é a que leva a uma hipérbole clássica.
O que o problema pede:
(a) Mostrar que a curva definida por essa condição é uma hipérbole.
(b) Determinar a sua equação reduzida (forma padrão).
Passo 2
Escrevendo as distâncias do ponto P(x,y) aos dois focos usando a fórmula da distância entre pontos:
Distância até F_1=(5,0): \;d_1=\sqrt{(x-5)^2+y^2}.
Distância até F_2=(-5,0): \;d_2=\sqrt{(x+5)^2+y^2}.
A condição do enunciado (diferença constante igual a 6) fica, usando valor absoluto para permitir as duas ramos,
\bigl|d_1-d_2\bigr|=6.
Passo 3
Tratamento do valor absoluto: as duas possibilidades \;d_1-d_2=6 ou \;d_2-d_1=6 representam os dois ramos simétricos da mesma hipérbole. Vou resolver uma delas (por exemplo \;d_1-d_2=6); a outra dá a mesma equação final por simetria. Então partimos de
\sqrt{(x-5)^2+y^2}-\sqrt{(x+5)^2+y^2}=6.
Passo 4
Isolando uma raiz e quadrando (passo a passo):
\sqrt{(x-5)^2+y^2}=6+\sqrt{(x+5)^2+y^2}.
Agora elevamos ao quadrado ambos os lados (atenção: ao quadrar, prestar atenção ao domínio, mas vamos ver que a manipulação algebraica leva à equação buscada):
Observe que o lado direito deve ser não-negativo (porque o lado esquerdo é \ge 0), o que impõe uma restrição sobre x; isso corresponde ao conjunto de pontos de um ramo. Agora elevamos ao quadrado novamente:
9\bigl((x+5)^2+y^2\bigr) = ( -5x - 9 )^2.
Passo 6
Expandimos ambos os lados e simplificamos cuidadosamente: