5 Uma quádrica Q com equação da forma A x^2+B y^2+C z^2=R tem seções planas alpha:l2 x^2+3 y^2=5 z=1 e beta:l4 z^2-3 y^2=1 x=1. Determine e esboce a quádrica Q.

Passo 1

O enunciado diz que a quadric Q tem equação da forma
A x^2 + B y^2 + C z^2 = R
e que suas seções planas são
– em z=1:
2x^2 + 3y^2 = 5,
– em x=1:
4z^2 - 3y^2 = 1
Vamos usar essas duas condições para encontrar A,B,C,R.

Passo 2

Na seção em z=1 substituímos z=1 em A x^2 + B y^2 + C z^2 = R, obtendo
A x^2 + B y^2 = R - C
Como isso deve coincidir com 2x^2 + 3y^2 =5, as três quantidades l(A,,B,,R-Cr) são proporcionais a l(2,,3,,5r). Portanto existe um escalar tneq0 tal que
A = 2t, B = 3t, R - C = 5t

Passo 3

Na seção em x=1 fazemos x=1 em A x^2 + B y^2 + C z^2 = R, dando
B y^2 + C z^2 = R - A
Isto deve ser equivalente a
4z^2 - 3y^2 = 1
Reescrevendo como (C/(R-A)),z^2 + (B/(R-A)),y^2 = 1, vemos que
CR - A = 4, BR - A = -3

Passo 4

Das igualdades
B = 3t, BR-A = -3
segue 3t/(R-A)=-3, ou seja R-A=-t. Mas também A=2t, logo R = A - t = 2t - t = t. Então
R = t, A=2t, B=3t, R-C=5t ;Longrightarrow; C = R-5t = t - 5t = -4t
Podemos agora dividir toda a equação por t (que só escala a curva), obtendo a forma canônica
2x^2 + 3y^2 - 4z^2 = 1

Passo 5

A equação
2x^2 + 3y^2 - 4z^2 = 1
é um hiperbolóide de uma folha com eixo ao longo do eixo z.
– Para z= constante fixo, a secção é elipse tfracx^21/2+tfracy^21/3=1.
– Para x= constante, dá hipérbole.
Esboço: curvas elípticas nos planos horizontais, abertas na direção do eixo z.

Resposta

2x^2 + 3y^2 - 4z^2 = 1

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