5 Uma quádrica
com equação da forma
tem seções planas
e
. Determine e esboce a quádrica
.
Passo 1
O enunciado diz que a quadric
tem equação da forma
e que suas seções planas são
– em :
– em
– em
:
Vamos usar essas duas condições para encontrar
.
Passo 2
Na seção em
substituímos
em
, obtendo
Como isso deve coincidir com
, as três quantidades
são proporcionais a
. Portanto existe um escalar
tal que
Passo 3
Na seção em
fazemos
em
, dando
Isto deve ser equivalente a
Reescrevendo como
, vemos que
Passo 4
Das igualdades
segue
, ou seja
. Mas também
, logo
. Então
Podemos agora dividir toda a equação por
(que só escala a curva), obtendo a forma canônica
Passo 5
A equação
é um hiperbolóide de uma folha com eixo ao longo do eixo
.
– Para constante fixo, a secção é elipse
.
– Para constante, dá hipérbole.
– Para
– Para
Esboço: curvas elípticas nos planos horizontais, abertas na direção do eixo
.