Considere I_{1}, I_{2}, I_{3} \in \mathbb{R}, onde
\begin{aligned} I_{1} & =\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sqrt{x^{2}}-\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi} \cos x-\frac{1}{\pi} \cos (2 x)\right)^{2} d x \\\ I_{2} & =\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sqrt{x^{2}}-\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \cos x-\frac{1}{\pi} \cos (2 x)\right)^{2} d x \\\ I_{3} & =\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sqrt{x^{2}}-\frac{\pi}{2}+\frac{4}{\pi} \cos x+\frac{4}{9 \pi} \cos (2 x)\right)^{2} d x \end{aligned}
Podemos afirmar que vale
(a) I_{2}<I_{1}<I_{3}
(b) I_{3}<I_{1}<I_{2}
(c) I_{1}<I_{2}<I_{3}
(d) Nenhuma das outras alternativas
(e) I_{1}<I_{3}<I_{2}

Passo 1

O enunciado dá três integrais reais I_{1},I_{2},I_{3}, cada uma da forma
I_j=\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(\sqrt{x^{2}}-\tfrac{\pi}{2}+A_j\cos x+B_j\cos(2x)\bigr)^{2}dx
com os pares (A_j,B_j) implícitos no enunciado. A pergunta é: qual das alternativas abaixo é verdadeira?
(a) I_{2}<I_{1}<I_{3}
(b) I_{3}<I_{1}<I_{2}
(c) I_{1}<I_{2}<I_{3}
(d) Nenhuma das outras alternativas
(e) I_{1}<I_{3}<I_{2}
Informações relevantes fornecidas:
  • A função dentro das integrais envolve \sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert e combina com constantes e termos \cos x e \cos(2x).
  • Os três casos são
\begin{aligned} I_{1}&=\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl(\lvert x\rvert-\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{4}{\pi}\cos x-\tfrac{1}{\pi}\cos(2x)\Bigr)^{2}dx,\\[4pt] I_{2}&=\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl(\lvert x\rvert-\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{4}{\pi}\cos x-\tfrac{1}{\pi}\cos(2x)\Bigr)^{2}dx,\\[4pt] I_{3}&=\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl(\lvert x\rvert-\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{4}{\pi}\cos x+\tfrac{4}{9\pi}\cos(2x)\Bigr)^{2}dx. \end{aligned}
  • Não se pede o valor numérico de cada integral isoladamente, mas a ordem entre elas.]

Passo 2

Ideia matemática (de forma didática): para comparar integrais do tipo \int_{-\pi}^{\pi}(f(x)-g(x))^{2}dx com f=\lvert x\rvert e g sendo combinações de \cos(nx), é muito útil usar a ortogonalidade das funções \{1,\cos nx\} em [-\pi,\pi] e conhecer os coeficientes do desenvolvimento de Fourier em cossenos de f. A razão: a distância quadrática \int (f-g)^2 é mínima quando g é a projeção ortogonal de f no espaço gerado por essas funções; e a medida do erro depende apenas da diferença entre os coeficientes de g e os coeficientes de f.
Primeiro vamos obter a série de Fourier em cossenos de f(x)=\lvert x\rvert em [-\pi,\pi]. Como f é par, só aparecem cossenos. Os coeficientes são
c_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lvert x\rvert\,dx,\qquad c_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lvert x\rvert\cos(nx)\,dx\quad(n\ge1).

Passo 3

Calculemos os coeficientes explicitamente (a conta é importante em prova; faço passo a passo).
  1. Constante:
\int_{-\pi}^{\pi}\lvert x\rvert\,dx = 2\int_{0}^{\pi} x\,dx = 2\cdot\frac{\pi^{2}}{2}=\pi^{2},
logo
c_{0}=\frac{1}{2\pi}\cdot\pi^{2}=\frac{\pi}{2}.
  1. Coeficiente geral c_{n} para n\ge1. Como \lvert x\rvert é par,
c_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lvert x\rvert\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Agora use integração por partes em \int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx. Seja u=x, dv=\cos(nx)\,dx, então du=dx, v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx=\Bigl[\frac{x\sin(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\,dx.
O primeiro termo é \dfrac{\pi\sin(n\pi)}{n}=0. O segundo termo dá
-\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=-\frac{1}{n}\Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1}{n^{2}}\bigl(\cos(n\pi)-\cos 0\bigr)=\frac{1}{n^{2}}\bigl((-1)^{n}-1\bigr).
Portanto
\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx=\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}},
e assim
c_{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}=\frac{2((-1)^{n}-1)}{\pi n^{2}}.
Observe que se n é par então (-1)^{n}-1=0\Rightarrow c_{n}=0. Se n é ímpar então (-1)^{n}-1=-2\Rightarrow c_{n}=-\dfrac{4}{\pi n^{2}}.
Em particular:
c_{1}=-\frac{4}{\pi},\qquad c_{2}=0,\qquad c_{3}=-\frac{4}{9\pi},\\ \text{etc.}

Passo 4

Agora reformulamos cada integral usando coeficientes. Em termos de séries, escrevemos
f(x)=\lvert x\rvert = c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}\cos(nx),
com [c_{0}=\tfrac{\pi}{2}), c_{1}=-\tfrac{4}{\pi}, c_{2}=0.
Se g(x)=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cos x+\alpha_{2}\cos 2x (os três g do enunciado têm exatamente \alpha_{0}=\tfrac{\pi}{2}), então, usando a ortogonalidade
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx= \begin{cases} 2\pi, & m=n=0,\\[4pt] \pi, & m=n\ge1,\\[4pt] 0, & m\ne n, \end{cases}
temos que a contribuição ao erro quadrático proveniente das diferenças de coeficientes é, com fator comum \pi\], \[I - \text{const} = \pi\bigl((\alpha_{1}-c_{1})^{2}+(\alpha_{2}-c_{2})^{2}\bigr),\] onde a constante depende de \(\lVert f\rVert^{2} mas é a mesma para os três I_j (todos têm \alpha_{0}=c_{0}=\tfrac{\pi}{2}), então comparar I_{1},I_{2},I_{3} é equivalente a comparar
S_j=(\alpha_{1}^{(j)}-c_{1})^{2}+(\alpha_{2}^{(j)}-c_{2})^{2}.
Portanto basta encontrar os pares (\alpha_{1}^{(j)},\alpha_{2}^{(j)}) de cada caso e calcular S_j.
Liste dos coeficientes \alpha dos três candidatos (lembre que cada integrando foi escrito como \lvert x\rvert-\tfrac{\pi}{2} + A\cos x + B\cos 2x, então g=\tfrac{\pi}{2}-A\cos x -B\cos2x; cuidado com sinais ao identificar \alpha. Mais simples: comparar diretamente os \alpha que aparecem na forma g=\alpha_0+\alpha_1\cos x+\alpha_2\cos2x.)
  • Para I_{1}: o integrando é \lvert x\rvert-\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{4}{\pi}\cos x-\tfrac{1}{\pi}\cos2x, logo
\alpha_{1}^{(1)}=-\frac{4}{\pi}\quad\text{(pois }g=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{4}{\pi}\cos x+\tfrac{1}{\pi}\cos2x\text{)},\qquad \alpha_{2}^{(1)}=\frac{1}{\pi}.
  • Para I_{2}: o integrando é \lvert x\rvert-\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{4}{\pi}\cos x-\tfrac{1}{\pi}\cos2x, logo
\alpha_{1}^{(2)}=+\frac{4}{\pi},\qquad \alpha_{2}^{(2)}=\frac{1}{\pi}.
  • Para I_{3}: o integrando é \lvert x\rvert-\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{4}{\pi}\cos x+\tfrac{4}{9\pi}\cos2x, logo
\alpha_{1}^{(3)}=-\frac{4}{\pi},\qquad \alpha_{2}^{(3)}=-\frac{4}{9\pi}.
(Lembre: o coeficiente ideal de \cos x para \lvert x\rvert é c_{1}=-\tfrac{4}{\pi} e de \cos2x é c_{2}=0.)]

Passo 5

Calculemos os S_j (expresso em função de \pi, não é preciso avaliar numericamente muito):
c_{1}=-\frac{4}{\pi},\qquad c_{2}=0.
  • Para I_{1}:
\alpha_{1}^{(1)}-c_{1}=0,\qquad \alpha_{2}^{(1)}-c_{2}=\frac{1}{\pi},
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S_{1}=0^{2}+\Bigl(\frac{1}{\pi}\Bigr)^{2}=\frac{1}{\pi^{2}}.
  • Para I_{2}:
\alpha_{1}^{(2)}-c_{1}=\frac{4}{\pi}-\Bigl(-\frac{4}{\pi}\Bigr)=\frac{8}{\pi},\qquad \alpha_{2}^{(2)}-c_{2}=\frac{1}{\pi},
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S_{2}=\Bigl(\frac{8}{\pi}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{1}{\pi}\Bigr)^{2}=\frac{64+1}{\pi^{2}}=\frac{65}{\pi^{2}}.
  • Para I_{3}:
\alpha_{1}^{(3)}-c_{1}=0,\qquad \alpha_{2}^{(3)}-c_{2}=-\frac{4}{9\pi},
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S_{3}=0^{2}+\Bigl(-\frac{4}{9\pi}\Bigr)^{2}=\frac{16}{81\pi^{2}}.

Passo 6

Compare S_{1},S_{2},S_{3}. Como todos divididos por \pi^{2}>0, compare os numeradores:
\frac{16}{81}\approx 0{,}19753,\quad 1=1{,}0,\quad 65\gg1.
Mais precisamente,
S_{3}=\frac{16}{81\pi^{2}}\approx 0{,}02,\qquad S_{1}=\frac{1}{\pi^{2}}\approx 0{,}1013,\qquad S_{2}=\frac{65}{\pi^{2}}\approx 6{,}586.
Logo
S_{3}<S_{1}<S_{2}.
Como I_j é monotonicamente crescente com S_j (os demais termos comuns cancelam na comparação), segue
I_{3}<I_{1}<I_{2}.

Resposta

(b) I_{3}<I_{1}<I_{2}

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