com os pares (A_j,B_j) implícitos no enunciado. A pergunta é: qual das alternativas abaixo é verdadeira?
(a) I_{2}<I_{1}<I_{3}
(b) I_{3}<I_{1}<I_{2}
(c) I_{1}<I_{2}<I_{3}
(d) Nenhuma das outras alternativas
(e) I_{1}<I_{3}<I_{2}
Informações relevantes fornecidas:
A função dentro das integrais envolve \sqrt{x^{2}}=\lvert x\rvert e combina com constantes e termos \cos x e \cos(2x).
Não se pede o valor numérico de cada integral isoladamente, mas a ordem entre elas.]
Passo 2
Ideia matemática (de forma didática): para comparar integrais do tipo \int_{-\pi}^{\pi}(f(x)-g(x))^{2}dx com f=\lvert x\rvert e g sendo combinações de \cos(nx), é muito útil usar a ortogonalidade das funções \{1,\cos nx\} em [-\pi,\pi] e conhecer os coeficientes do desenvolvimento de Fourier em cossenos de f. A razão: a distância quadrática \int (f-g)^2 é mínima quando g é a projeção ortogonal de f no espaço gerado por essas funções; e a medida do erro depende apenas da diferença entre os coeficientes de g e os coeficientes de f.
Primeiro vamos obter a série de Fourier em cossenos de f(x)=\lvert x\rvert em [-\pi,\pi]. Como f é par, só aparecem cossenos. Os coeficientes são
com [c_{0}=\tfrac{\pi}{2}), c_{1}=-\tfrac{4}{\pi}, c_{2}=0.
Se g(x)=\alpha_{0}+\alpha_{1}\cos x+\alpha_{2}\cos 2x (os três g do enunciado têm exatamente \alpha_{0}=\tfrac{\pi}{2}), então, usando a ortogonalidade
temos que a contribuição ao erro quadrático proveniente das diferenças de coeficientes é, com fator comum \pi\],
\[I - \text{const} = \pi\bigl((\alpha_{1}-c_{1})^{2}+(\alpha_{2}-c_{2})^{2}\bigr),\]
onde a constante depende de \(\lVert f\rVert^{2} mas é a mesma para os três I_j (todos têm \alpha_{0}=c_{0}=\tfrac{\pi}{2}), então comparar I_{1},I_{2},I_{3} é equivalente a comparar
Portanto basta encontrar os pares (\alpha_{1}^{(j)},\alpha_{2}^{(j)}) de cada caso e calcular S_j.
Liste dos coeficientes \alpha dos três candidatos (lembre que cada integrando foi escrito como \lvert x\rvert-\tfrac{\pi}{2} + A\cos x + B\cos 2x, então g=\tfrac{\pi}{2}-A\cos x -B\cos2x; cuidado com sinais ao identificar \alpha. Mais simples: comparar diretamente os \alpha que aparecem na forma g=\alpha_0+\alpha_1\cos x+\alpha_2\cos2x.)
Para I_{1}: o integrando é \lvert x\rvert-\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{4}{\pi}\cos x-\tfrac{1}{\pi}\cos2x, logo