Seja a função periódica f(x)=\frac{\cos x}{1+|\sin x|} e seja \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos (n x)+b_{n} \sin (n x)\right] sua série de Fourier. Quanto às seguintes propriedades e coeficientes desta série
I. a_{n}=0, n \in \mathbb{N},
II. b_{n}=0, n \in \mathbb{N},
III. a_{2 n}=0, n \in \mathbb{N},
IV. \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \leq 2,
é correto afirmar que:
(a) Somente III é verdadeira.
(b) Todas são verdadeiras.
(c) Somente IV é falsa.
(d) Somente II é verdadeira.
(e) Todas são falsas.
(f) Somente I é falsa.

Passo 1

O enunciado dá a função periódica f(x)=\dfrac{\cos x}{1+|\sin x|} (período 2\pi) e a sua série de Fourier na forma
\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right].
Precisamos decidir quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
I. a_{n}=0 para todo n\in\mathbb{N}.
II. b_{n}=0 para todo n\in\mathbb{N}.
III. a_{2n}=0 para todo n\in\mathbb{N}.
IV. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \leq 2.
As informações relevantes do enunciado: a expressão explícita de f(x) e a forma padrão da série de Fourier. A partir daqui vou analisar simetrias, coeficientes e usar o teorema de Parseval para testar as afirmações.

Passo 2

Verifico a paridade de f. Calculo f(-x):
f(-x)=\frac{\cos(-x)}{1+|\sin(-x)|}=\frac{\cos x}{1+|\,-\sin x\,|}=\frac{\cos x}{1+|\sin x|}=f(x).
Logo f é função par. Para uma função par, os coeficientes seno da série de Fourier são zero porque cada b_n envolve a integral de uma função ímpar: a fórmula padrão é
b_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,
e f(x)\sin(nx) é ímpar quando f é par, portanto a integral vale zero. Conclusão: b_n=0 para todo n. Assim a afirmação II é verdadeira.

Passo 3

Verifico a propriedade de meia-onda. Calculo f(x+\pi):
f(x+\pi)=\frac{\cos(x+\pi)}{1+|\sin(x+\pi)|}=\frac{-\cos x}{1+|-\sin x|}=-\frac{\cos x}{1+|\sin x|}=-f(x).
Portanto f(x+\pi)=-f(x). Essa condição (meia-onda anti-simétrica) implica que todos os harmônicos de índice par desaparecem da série: para todo n\in\mathbb{N},
a_n=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos(nx)\,dx.
Faço a mudança y=x+\pi. Usando f(y)= -f(y-\pi) e \cos(n(y))=\cos(n(x+\pi))=(-1)^n\cos(nx) obtenho, para n par (isto é, n=2k):
a_{2k}=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\cos(2k x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x+\pi)\cos(2k(x+\pi))\,dx =\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} (-f(x))\cos(2k x)\,dx=-a_{2k}.
Da igualdade a_{2k}=-a_{2k} segue a_{2k}=0. Assim a afirmação III é verdadeira.

Passo 4

Argumento sobre I: se a_n=0 para todo n e já sabemos b_n=0 para todo n, então todos os coeficientes da série seriam zero (incluindo a_0, se também fosse zero), o que implicaria que f é zero quase em todo lugar (identicamente zero como função L^2). Mas f(x)=\dfrac{\cos x}{1+|\sin x|} não é a função zero (por exemplo em x=0 temos f(0)=1). Portanto não pode acontecer que todos os a_n sejam zero. Logo a afirmação I é falsa.

Passo 5

Calculo a_0 pela integral média para usar Parseval depois. Pelo fato de meia-onda f(x+\pi)=-f(x), a integral sobre um período anula-se:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)\,dx=0.
Isso será útil ao aplicar a fórmula de Parseval.

Passo 6

Aplico Parseval para relacionar \sum a_n^2 com a integral de f^2. A fórmula de Parseval para série de Fourier em 2\pi diz
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(x)|^2\,dx=\frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n^2+b_n^2\bigr).
Como a_0=0 e b_n=0 para todo n, isso reduz para
\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(x)^2\,dx=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty a_n^2,
ou seja
\sum_{n=1}^\infty a_n^2=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)^2\,dx.

Passo 7

Calculo a integral \displaystyle\int_0^{2\pi} f(x)^2\,dx. Primeiro uso que f^2 tem período \pi (pois f(x+\pi)=-f(x) implica f^2(x+\pi)=f^2(x)), então
\int_0^{2\pi} f(x)^2\,dx = 2\int_0^{\pi} \frac{\cos^2 x}{(1+\sin x)^2}\,dx,
pois em [0,\pi] temos |\sin x|=\sin x. Agora simplifico o integrando:
\frac{\cos^2 x}{(1+\sin x)^2}=\frac{1-\sin^2 x}{(1+\sin x)^2}=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}.
Chamando J=\int_0^{\pi}\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}\,dx, tenho
J=\int_0^{\pi}\left(1-\frac{2\sin x}{1+\sin x}\right)dx =\int_0^{\pi}\bigl(-1+\tfrac{2}{1+\sin x}\bigr)dx =-\pi+2\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\sin x}.
Para K=\displaystyle\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\sin x} eu uso a identidade
\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1-\sin x}{\cos^2 x},
então
K=\int_0^{\pi}\left(\frac{1}{\cos^2 x}-\frac{\sin x}{\cos^2 x}\right)dx =\left[\tan x-\operatorname{sec} x\right]_0^{\pi}.
Avalio os limites: \tan 0=0,\\ \operatorname{sec} 0=1,\\ \tan\pi=0,\\ \operatorname{sec}\pi=-1. Então
K=(0-(-1))-(0-1)=1-(-1)=2.
Logo
J=-\pi+2\cdot 2=-\pi+4.
Assim
\int_0^{2\pi} f(x)^2\,dx = 2J = 2(-\pi+4)=8-2\pi.

Passo 8

Volto a Parseval:
\sum_{n=1}^\infty a_n^2=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(x)^2\,dx=\frac{1}{\pi}(8-2\pi)=\frac{8-2\pi}{\pi}.
Note que \dfrac{8-2\pi}{\pi}=\dfrac{2(4-\pi)}{\pi}. Como 4-\pi>0 (pois \pi\approx3,14), o valor é positivo e, numericamente,
\sum_{n=1}^\infty a_n^2\approx 0,5465\ldots
Portanto a desigualdade \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \le 2 é verdadeira. Conclusões reunidas:
  • I é falsa (nem todos os a_n são zero).
  • II é verdadeira ( b_n=0 por paridade).
  • III é verdadeira ( a_{2n}=0 pela meia-onda).
  • IV é verdadeira (Parseval dá \sum a_n^2=(8-2\pi)/\pi<2).

Resposta

(f) Somente I é falsa.

Exercícios relacionados