Seja a função periódica
e seja
sua série de Fourier. Quanto às seguintes propriedades e coeficientes desta série
I.
,
II.
,
III.
,
IV.
,
é correto afirmar que:
(a) Somente III é verdadeira.
(b) Todas são verdadeiras.
(c) Somente IV é falsa.
(d) Somente II é verdadeira.
(e) Todas são falsas.
(f) Somente I é falsa.
I.
II.
III.
IV.
é correto afirmar que:
(a) Somente III é verdadeira.
(b) Todas são verdadeiras.
(c) Somente IV é falsa.
(d) Somente II é verdadeira.
(e) Todas são falsas.
(f) Somente I é falsa.
Passo 1
O enunciado dá a função periódica
(período
) e a sua série de Fourier na forma
Precisamos decidir quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
I. para todo
.
II. para todo
.
III. para todo
.
IV. .
I.
II.
III.
IV.
As informações relevantes do enunciado: a expressão explícita de
e a forma padrão da série de Fourier. A partir daqui vou analisar simetrias, coeficientes e usar o teorema de Parseval para testar as afirmações.
Passo 2
Verifico a paridade de
. Calculo
:
Logo
é função par. Para uma função par, os coeficientes seno da série de Fourier são zero porque cada
envolve a integral de uma função ímpar: a fórmula padrão é
e
é ímpar quando
é par, portanto a integral vale zero. Conclusão:
para todo
. Assim a afirmação II é verdadeira.
Passo 3
Verifico a propriedade de meia-onda. Calculo
:
Portanto
. Essa condição (meia-onda anti-simétrica) implica que todos os harmônicos de índice par desaparecem da série: para todo
,
Faço a mudança
. Usando
e
obtenho, para
par (isto é,
):
Da igualdade
segue
. Assim a afirmação III é verdadeira.
Passo 4
Argumento sobre I: se
para todo
e já sabemos
para todo
, então todos os coeficientes da série seriam zero (incluindo
, se também fosse zero), o que implicaria que
é zero quase em todo lugar (identicamente zero como função
). Mas
não é a função zero (por exemplo em
temos
). Portanto não pode acontecer que todos os
sejam zero. Logo a afirmação I é falsa.
Passo 5
Calculo
pela integral média para usar Parseval depois. Pelo fato de meia-onda
, a integral sobre um período anula-se:
Isso será útil ao aplicar a fórmula de Parseval.
Passo 6
Aplico Parseval para relacionar
com a integral de
. A fórmula de Parseval para série de Fourier em
diz
Como
e
para todo
, isso reduz para
ou seja
Passo 7
Calculo a integral
. Primeiro uso que
tem período
(pois
implica
), então
pois em
temos
. Agora simplifico o integrando:
Chamando
, tenho
Para
eu uso a identidade
então
Avalio os limites:
. Então
Logo
Assim
Passo 8
Volto a Parseval:
Note que
. Como
(pois
), o valor é positivo e, numericamente,
Portanto a desigualdade
é verdadeira. Conclusões reunidas:
- I é falsa (nem todos os
são zero). - II é verdadeira (
por paridade). - III é verdadeira (
pela meia-onda). - IV é verdadeira (Parseval dá
).
Resposta
(f) Somente I é falsa.