A solução das EDO’s a seguir em séries de potência, que satisfazem as condições iniciais, são respectivamente:
I.
II.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
I.
II.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá duas equações diferenciais ordinárias com condições iniciais e pede as soluções em séries de potência que satisfaçam essas condições. As informações relevantes são:
- I. Equação:
com condições e . - II. Equação:
com condição .
O que é pedido: identificar, entre as alternativas (a)–(e), qual par de séries corresponde às soluções das EDOs I e II, respectivamente.
Passo 2
Método geral que vamos usar (sem entrar em jargões difíceis): para a EDO I usamos a técnica de série de potência — supor que a solução pode ser escrita como uma série
, calcular
e
em séries e igualar coeficientes termo a termo para obter uma relação entre os
(recorrência). Para a EDO II podemos fazer o mesmo ou reconhecer que é uma EDO linear de primeira ordem simples cuja solução é imediata (mas também mostrarei a série). Vou desenvolver passo a passo para cada equação.
Passo 3
Começando pela EDO I. Suponha
Então as derivadas são
Note que escrevemos
e
com potências
para facilitar a comparação termo a termo.
Passo 4
Substituímos as séries na EDO
. Primeiro calcule
:
Reindexando (colocando a soma como potência
com
) obtemos
Agora a EDO vira (todos os termos escritos com potência
):
Passo 5
Igualando coeficiente de
(ou seja, termo constante), obtemos para
:
Para
os coeficientes de
dão:
Agrupando
e isolando
:
Observação: essa fórmula vale já para
(retornando
).
Passo 6
A recorrência
mostra que os coeficientes se acoplam dois a dois: os termos pares
se determinam entre si, e os ímpares
entre si. Pelas condições iniciais:
Como
e a recorrência liga
a
, todos os
(todos os termos ímpares são zero). Para os termos pares usamos a recorrência:
Portanto, para
,
Uma observação útil: o produto
, então também podemos escrever
, e
.
Passo 7
Assim a solução
em série é
que coincide com a forma apresentada nas alternativas que têm
.
Passo 8
Agora a EDO II:
,
. Esse é um caso muito direto: podemos tratar como uma EDO linear de primeira ordem separável. Escrevendo
integramos em
:
Impondo
dá
. Logo a solução exata é
Passo 9
Expandindo
em série de potência (a expansão de
com
):
Portanto a solução em série que satisfaz
é exatamente
.
Passo 10
Comparando com as alternativas: para I precisamos da forma
; para II precisamos de
. A alternativa que dá esses dois resultados é a alternativa (c) (a alternativa (e) é idêntica à (c) no texto do enunciado, mas a escolha usualmente indicada é (c)).
Resposta
(c)