Faça um gráfico qualitativo para a energia duma partícula na aproximação de Hartree-Fock,
\varepsilon_{H F}(k)=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m_{0}}-\frac{2 e^{2}}{\pi} k_{F} F\left(\frac{k}{k_{F}}\right)
onde F(x)=\frac{1}{4 x}\left[\left(1-x^{2}\right) \ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|+2 x\right] é a função de Lindhard. Considere 0 \leq k< 2 k_{F}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se um gráfico qualitativo da energia de uma partícula na aproximação de Hartree–Fock para 0 \le k < 2k_{F}.
  • A expressão fornecida é
\varepsilon_{H F}(k)=\frac{\hbar^{2} k^{2}}{2 m_{0}}-\frac{2 e^{2}}{\pi}\,k_{F}\,F\!\left(\frac{k}{k_{F}}\right),
onde
F(x)=\frac{1}{4 x}\left[\left(1-x^{2}\right)\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+2x\right].
  • Variáveis e parâmetros: k (variável do gráfico), k_{F} (Fermi wavevector, marca uma escala), m_{0},\hbar,e são constantes físicas.
  • O domínio a considerar é 0\le k<2k_{F}.
  • Objetivo prático: desenhar qualitativamente \varepsilon_{H F}(k) versus k e identificar características relevantes (valores nos extremos, se há singularidades, comparação com a parabola cinética livre \hbar^{2}k^{2}/(2m_{0}), comportamento em k=k_{F} e próximo de 2k_{F}).

Passo 2

Entendendo os dois termos da energia: contribuição cinética e correção de troca.
  • Primeiro termo: \dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m_{0}} é a energia cinética livre — uma parábola em k que passa por zero com curvatura \dfrac{\hbar^{2}}{m_{0}} (mais precisamente coeficiente quadrático \hbar^{2}/(2m_{0})).
  • Segundo termo: -\dfrac{2 e^{2}}{\pi}k_{F}F(k/k_{F}) é a contribuição de troca (exchange) na aproximação HF. Essa parcela é negativa (pois F(x)>0 no intervalo que vamos considerar) e desloca a energia total para baixo em relação à parabola livre. Portanto, o gráfico de \varepsilon_{HF} será sempre abaixo da parabola cinética (no domínio dado), mas a magnitude dessa depressão depende de k através de F.

Passo 3

Propriedades essenciais da função F(x) que determinam a forma do gráfico.
  • Primeiro, avaliar F em pontos-chave e comportamento em x pequeno:
    • Expandindo a função logarítmica para x\ll1:
    \ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots\right).
    • Substituindo na definição de F(x) e desenvolvendo até ordem x^{2}
    F(x)=1-\frac{x^{2}}{3}+O(x^{4}).
    • Conclusão imediata: F(0)=1 e, para k\ll k_{F} ( x\ll1), F decresce levemente com x (componente quadrática negativa).
  • Valor em x=1 (isto é, k=k_{F}). Tomando x\to1^{-} com x=1-\varepsilon: F(1)=\frac{1}{2}.A função é finita em x=1 (portanto \varepsilon_{HF}(k) é finita em k=k_{F}), mas a presença do log \ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right| causa não-analiticidade (ver passo seguinte).
  • Valor em x=2 (limite do intervalo pedido):
    • Calculando diretamente:
    F(2)=\frac{1}{8}\bigl(4-3\ln 3\bigr)\approx 0,0880\quad(\text{positivo e pequeno}).Portanto, a correção de troca ainda é positiva multiplicada por -\dfrac{2e^{2}}{\pi}k_{F}, mas de pequena magnitude em k\approx 2k_{F}.
  • Comportamento geral: F(x) é positiva no intervalo 0\le x\le 2 e decresce de F(0)=1 para valores bem menores em x=2. Há uma não-analiticidade (cúspide) na derivada em x=1 devido ao termo logarítmico.

Passo 4

Desenvolvimento assintótico em k\ll k_{F} (para entender a forma perto de k=0).
  • Usando F(x)\approx 1-\dfrac{x^{2}}{3} com x=k/k_{F}, a energia HF para k pequeno fica
\varepsilon_{H F}(k)\approx -\frac{2 e^{2}}{\pi}k_{F}+\left(\frac{\hbar^{2}}{2m_{0}}+\frac{2 e^{2}}{3\pi}\frac{1}{k_{F}}\right)k^{2}+O(k^{4}).
  • Interpretação física e prática de prova:
    • Há um deslocamento constante negativo em k=0:
    \varepsilon_{H F}(0)=-\frac{2 e^{2}}{\pi}k_{F}.
    • O termo quadrático efetivo (coeficiente de k^{2}) é maior do que o coeficiente cinético livre \hbar^{2}/(2m_{0}) porque a expansão do termo de troca traz uma contribuição positiva em k^{2}. Assim, próximo de k=0 a curva cresce com k um pouco mais rapidamente (curvatura um pouco maior) do que a parábola livre, embora esteja deslocada para baixo por causa do termo constante.
  • Dica para desenhar: comece em k=0 em um valor negativo \varepsilon_{HF}(0) e desenhe uma parábola ascendente com curvatura levemente aumentada em relação à livre.

Passo 5

Comportamento em torno de k=k_{F}: a não-analiticidade responsável pelo “kink” (cúspide).
  • A função F(x) tem um termo \propto(1-x^{2})\ln\!\bigl|\dfrac{1+x}{1-x}\bigr|. Ao aproximar x\to1 (ou k\to k_{F}) surge um termo do tipo \varepsilon\ln\varepsilon (com \varepsilon=|1-x|), que torna a derivada dF/dx logaritmicamente divergente quando x\to1. Em palavras: F(x) é contínua em x=1 mas sua derivada tem uma singularidade logarítmica (cusp).
  • Consequência direta para \varepsilon_{HF}(k):
    • \varepsilon_{HF}(k) é contínua em k=k_{F} (valor finito, pois F(1)=1/2),
    \varepsilon_{HF}(k_{F})=\frac{\hbar^{2}k_{F}^{2}}{2m_{0}}-\frac{2e^{2}}{\pi}k_{F}\,F(1) =\frac{\hbar^{2}k_{F}^{2}}{2m_{0}}-\frac{2e^{2}}{2\pi}k_{F},mas a derivada d\varepsilon_{HF}/dk apresenta uma descontinuidade (na verdade uma singularidade logarítmica da derivada) em k=k_{F}. Isso aparece no gráfico como um “kink” bem visível: a inclinação muda abruptamente (não é uma quebra de valor, é uma quebra na inclinação).
  • Física intuitiva e dica de prova: esse kink é a assinatura do Fermi surface — a troca entre estados ocupados e desocupados no cálculo da autoenergia gera a não-analiticidade em k=k_{F}. Ao esquematizar, marque k_{F} com uma linha vertical e desenhe uma mudança brusca na inclinação da curva aí.

Passo 6

Comportamento para k próximos de 2k_{F} e conclusão do formato global.
  • Em k próximos de 2k_{F} (ou x\to2) a função F(x) diminui bastante; temos o valor numérico
F(2)=\frac{1}{8}\bigl(4-3\ln 3\bigr)\approx 0,0880.
  • Consequência: a contribuição de troca torna-se pequena em magnitude quando k se aproxima de 2k_{F}, logo \varepsilon_{HF}(k) aproxima-se da parábola cinética, embora permaneça um pouco abaixo dela (pois a correção de troca continua negativa).
  • Resumo do comportamento global (0 a 2k_{F}):
    • Em k=0: energia negativa \varepsilon_{HF}(0)=-\dfrac{2e^{2}}{\pi}k_{F}.
    • Para 0<k<k_{F}: a curva sobe com curvatura um pouco maior que a parabola livre (devido ao termo positivo em k^{2} vindo da troca) mas fica sempre abaixo da parabola livre por conta do deslocamento negativo.
    • Em k=k_{F}: curva contínua, mas com um kink (derivada apresenta comportamento logarítmico, mudança pronunciada de inclinação).
    • Para k_{F}<k<2k_{F}: a curva continua subindo e gradualmente se aproxima da parabola livre quando k\to2k_{F}.
    • Não há divergência da energia em 0\le k\le 2k_{F}; só há a não-analiticidade da derivada em k=k_{F}.

Passo 7

Como desenhar o gráfico qualitativo (passo-a-passo prático, tipo “no papel” — leve e motivador).
  • Trace eixos: eixo horizontal k com marcações k=0, k=k_{F} e k=2k_{F}. Eixo vertical \varepsilon.
  • Desenhe a parábola cinética livre \varepsilon_{0}(k)=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m_{0}} com linha tracejada como referência.
  • Desenhe a curva \varepsilon_{HF}(k) assim:
    • Em k=0 comece em \varepsilon_{HF}(0)=-\dfrac{2e^{2}}{\pi}k_{F} (ponto abaixo da origem).
    • Faça subir a curva com curvatura ligeiramente maior que a da parábola tracejada até perto de k_{F}.
    • Ao atingir k_{F} desenhe um kink (mudança pronunciada de inclinação, sem salto do valor).
    • Para k>k_{F} continue subindo, aproximando-se da parábola tracejada ao se aproximar de 2k_{F}, ficando sempre um pouco abaixo dela.
  • Anote no gráfico: “kink em k=k_{F}” e “ \varepsilon_{HF}(0)=-\dfrac{2e^{2}}{\pi}k_{F}” e, se quiser, desenhe setas indicando que a derivada tem singularidade logarítmica em k_{F}.

Resposta

  • Curva contínua que começa em \varepsilon_{HF}(0)=-\dfrac{2e^{2}}{\pi}k_{F}, sobe aproximadamente quadraticamente com curvatura ligeiramente maior que \hbar^{2}/(2m_{0}) para 0<k<k_{F}.
  • Em k=k_{F} há um kink (a derivada d\varepsilon_{HF}/dk tem uma não-analiticidade logarítmica), a energia é finita com \varepsilon_{HF}(k_{F})=\dfrac{\hbar^{2}k_{F}^{2}}{2m_{0}}-\dfrac{2e^{2}}{2\pi}k_{F}.
  • Para k_{F}<k<2k_{F} a curva continua a subir e aproxima-se da parábola cinética livre quando k\to2k_{F}, permanecendo sempre um pouco abaixo desta.

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