Considere a igualdade
onde
são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Considere a igualdade
onde
são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
onde
Considere a igualdade
onde
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade
onde
e
são números inteiros positivos. Preciso verificar quais das alternativas listadas são verdadeiras (pode escolher uma ou mais). Informação relevante que o enunciado fornece:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O limite pedido é quando
e o valor do limite é . - As alternativas relacionam
e por somas e diferenças (por exemplo , , etc.) e também há a opção de que não existam inteiros positivos que satisfaçam a igualdade.
Passo 2
Ideia de resolução (sem ainda calcular): para um limite em duas variáveis existir e igualar a um valor fixo (aqui
), o valor da expressão ao aproximarmos
de
por quaisquer caminhos deve tender a esse mesmo valor. Um teste simples e obrigatório é verificar os caminhos das coordenadas: a) aproximar por
(eixo
); b) aproximar por
(eixo
). Se nesses caminhos o limite não for
, a igualdade não pode ocorrer para todos os caminhos.
Também precisamos de uma aproximação útil para
quando
é pequeno: pela série de Taylor,
quando
. Elevando à décima potência:
Isso significa que, para verificar ordens de grandeza próximas de zero, podemos substituir
por
na análise dos expoentes principais.
Passo 3
Análise ao longo do eixo
(ou seja, tomar
e
):
- Substituindo
temos , então a expressão vira
- Para
tender a quando , é necessário que o expoente seja ; ou seja,
- Como o enunciado exige que
seja inteiro positivo, não é permitido. Se então o limite ao longo do eixo seria ; se seria infinito. Em nenhum desses casos o limite seria .
Passo 4
Análise ao longo do eixo
(ou seja, tomar
e
):
- Usando a aproximação
, substituímos e obtemos
- Para
tender a quando , novamente precisamos de expoente ; ou seja,
que é um valor inteiro positivo admissível.
Passo 5
Conclusão combinando os dois eixos:
- Do eixo
obtemos , que é compatível com a integralidade exigida. - Do eixo
seria necessário , que não é inteiro. - Como o limite em
deve ser o mesmo por TODOS os caminhos, e já falha no caminho porque não existe que satisfaça a condição, concluímos que não existem inteiros positivos que tornem
Resposta
c