Considere a igualdade
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{7}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{2 m}+y^{2 n}}=1
onde m, n são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Considere a igualdade
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{9}+(\operatorname{sen} y)^{10}}{x^{2 m}+y^{2 n}}=1
onde m, n são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
] a. \(m-n=-3\) \[] b. \(m-n=-4\) \[] c. Não existem \(m\) e \(n\) tais que esta igualdade occore \[] d. \(m-n=2\) \[] e. \(m+n=10\) \[] f. \(m-n=-1\) \[] g. \(m+n=8\) \[] h. \(m+n=9\) \[] i. \(m+n=7\)

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{9}+(\operatorname{sen} y)^{10}}{x^{2m}+y^{2n}} = 1,
onde m e n são números inteiros positivos. Preciso verificar quais das alternativas listadas são verdadeiras (pode escolher uma ou mais). Informação relevante que o enunciado fornece:
  • O numerador é x^{9}+(\operatorname{sen} y)^{10}.
  • O denominador é x^{2m}+y^{2n}.
  • O limite pedido é quando (x,y)\to(0,0) e o valor do limite é 1.
  • As alternativas relacionam m e n por somas e diferenças (por exemplo m-n=-3, m+n=8, etc.) e também há a opção de que não existam m,n inteiros positivos que satisfaçam a igualdade.

Passo 2

Ideia de resolução (sem ainda calcular): para um limite em duas variáveis existir e igualar a um valor fixo (aqui 1), o valor da expressão ao aproximarmos (x,y) de (0,0) por quaisquer caminhos deve tender a esse mesmo valor. Um teste simples e obrigatório é verificar os caminhos das coordenadas: a) aproximar por y=0 (eixo x); b) aproximar por x=0 (eixo y). Se nesses caminhos o limite não for 1, a igualdade não pode ocorrer para todos os caminhos.
Também precisamos de uma aproximação útil para \operatorname{sen} y quando y é pequeno: pela série de Taylor,
\operatorname{sen} y = y + O(y^{3})
quando y\to0. Elevando à décima potência:
(\operatorname{sen} y)^{10} = y^{10} + \text{termos de ordem superior em } y.
Isso significa que, para verificar ordens de grandeza próximas de zero, podemos substituir (\operatorname{sen} y)^{10} por y^{10} na análise dos expoentes principais.

Passo 3

Análise ao longo do eixo y=0 (ou seja, tomar y=0 e x\to0):
  • Substituindo y=0 temos \operatorname{sen} y=0, então a expressão vira
\frac{x^{9}+0}{x^{2m}+0} = \frac{x^{9}}{x^{2m}} = x^{9-2m}.
  • Para x^{9-2m} tender a 1 quando x\to0, é necessário que o expoente seja 0; ou seja,
9-2m=0 \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{9}{2}.
  • Como o enunciado exige que m seja inteiro positivo, m=\frac{9}{2} não é permitido. Se 9-2m>0 então o limite ao longo do eixo y=0 seria 0; se 9-2m<0 seria infinito. Em nenhum desses casos o limite seria 1.

Passo 4

Análise ao longo do eixo x=0 (ou seja, tomar x=0 e y\to0):
  • Usando a aproximação (\operatorname{sen} y)^{10}\sim y^{10}, substituímos x=0 e obtemos
\frac{0+y^{10}}{0+y^{2n}} = y^{10-2n}.
  • Para y^{10-2n} tender a 1 quando y\to0, novamente precisamos de expoente 0; ou seja,
10-2n=0 \quad\Longrightarrow\quad n=5,
que é um valor inteiro positivo admissível.

Passo 5

Conclusão combinando os dois eixos:
  • Do eixo x=0 obtemos n=5, que é compatível com a integralidade exigida.
  • Do eixo y=0 seria necessário m=\frac{9}{2}, que não é inteiro.
  • Como o limite em \mathbb{R}^2 deve ser o mesmo por TODOS os caminhos, e já falha no caminho y=0 porque não existe m\in\mathbb{Z}_{>0} que satisfaça a condição, concluímos que não existem inteiros positivos m,n que tornem
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{9}+(\operatorname{sen} y)^{10}}{x^{2m}+y^{2n}} = 1.

Resposta

c

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