Considere a \in(1,+\infty). Mostre que a sequência ( a^{n} ) é limitada inferiormente, mas não é limitada superiormente.

Passo 1

Resumindo, temos a\in(1,+\infty) e a sequência definida por a_n = a^n. O conteúdo aqui é a definição de sequência limitada. Vamos precisar lembrar que:
– A sequência (a_n) é limitada inferiormente se existe m\in\mathbb{R} tal que a_n\ge m para todo n.
– A sequência (a_n) é limitada superiormente se existe M\in\mathbb{R} tal que a_n\le M para todo n.
Nosso objetivo é exibir um m que funciona como limite inferior e mostrar que não existe M que funcione como limite superior.

Passo 2

Para ver que (a^n) é limitada inferiormente, note que, como a>1, para todo n\ge1 temos
a^n>0.
Logo, podemos escolher m=0. Então, para todo n,
a^n\ge 0=m,
o que mostra que (a^n) é limitada inferiormente.

Passo 3

Para ver que (a^n) não é limitada superiormente, provamos que, dado qualquer M>0, existe n\in\mathbb{N} tal que a^n>M. De fato, como a função exponencial x\mapsto a^x (com a>1) é crescente, basta escolher
n > \frac{\ln M}{\ln a}.
Então
a^n > a^{\frac{\ln M}{\ln a}} = \exp\bigl(\ln a\cdot\tfrac{\ln M}{\ln a}\bigr) = \exp(\ln M) = M.
Isso mostra que para todo M existe n com a^n>M, ou seja, não há M que sirva de limite superior.

Resposta

A sequência \bigl(a^n\bigr) é limitada inferiormente (por exemplo, m=0), mas não é limitada superiormente.

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