Considere
. Mostre que a sequência (
) é limitada inferiormente, mas não é limitada superiormente.
Passo 1
Resumindo, temos
e a sequência definida por
. O conteúdo aqui é a definição de sequência limitada. Vamos precisar lembrar que:
– A sequência é limitada inferiormente se existe
tal que
para todo
.
– A sequência é limitada superiormente se existe
tal que
para todo
.
Nosso objetivo é exibir um que funciona como limite inferior e mostrar que não existe
que funcione como limite superior.
– A sequência
– A sequência
Nosso objetivo é exibir um
Passo 2
Para ver que
é limitada inferiormente, note que, como
, para todo
temos
Logo, podemos escolher
. Então, para todo
,
o que mostra que
é limitada inferiormente.
Passo 3
Para ver que
não é limitada superiormente, provamos que, dado qualquer
, existe
tal que
. De fato, como a função exponencial
(com
) é crescente, basta escolher
Então
Isso mostra que para todo
existe
com
, ou seja, não há
que sirva de limite superior.
Resposta
A sequência
é limitada inferiormente (por exemplo,
), mas não é limitada superiormente.