Verifique, em cada caso, se as sequências dadas pelas expressões abaixo são, ou não, limitadas.
(
) definida por
e
.)
(
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
Precisamos verificar se existe um número real
tal que
para todo
(isto é, se a sequência é limitada).
Passo 2
Mostramos primeiro que
é estritamente crescente e permanece positiva. De fato, para todo
:
Como
, segue por indução que
para todo
, logo
e
Passo 3
Para avaliar o crescimento, vamos relacionar os quadrados. Calculamos
Assim obtemos a desigualdade de recorrência
Passo 4
Somando essa desigualdade de
até
, temos
Portanto
Passo 5
Como
quando
, também
. Isso mostra que não existe limite superior finito para
. Em outras palavras, a sequência é não limitada acima (embora seja limitada inferiormente por
).
Resposta
A sequência
não é limitada.