Verifique, em cada caso, se as sequências dadas pelas expressões abaixo são, ou não, limitadas.
( x_{n} ) definida por x_{1}=1 e x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\, para \(n \in \mathbb{N}.)

Passo 1

O enunciado define a sequência (x_n) por
x_{1} = 1, \quad x_{n+1} = x_{n} + \frac{1}{x_{n}} \quad(n\in\mathbb{N}).
Precisamos verificar se existe um número real M tal que \lvert x_n\rvert \le M para todo n (isto é, se a sequência é limitada).

Passo 2

Mostramos primeiro que (x_n) é estritamente crescente e permanece positiva. De fato, para todo n:
x_{n+1} - x_{n} = \frac{1}{x_{n}}.
Como x_{1}=1>0, segue por indução que x_{n}>0 para todo n, logo \tfrac1{x_n}>0 e
x_{n+1}>x_n.

Passo 3

Para avaliar o crescimento, vamos relacionar os quadrados. Calculamos
x_{n+1}^2 = \bigl(x_n + \tfrac1{x_n}\bigr)^2 = x_n^2 + 2 + \frac{1}{x_n^2} \;\ge\; x_n^2 + 2.
Assim obtemos a desigualdade de recorrência
x_{n+1}^2 \;\ge\; x_n^2 + 2.

Passo 4

Somando essa desigualdade de n=1 até n=k-1, temos
x_{k}^2 \;\ge\; x_{1}^2 + 2\,(k-1) = 1 + 2k - 2 = 2k - 1.
Portanto
x_{k} \;\ge\; \sqrt{2k - 1}.

Passo 5

Como \sqrt{2k - 1}\to\infty quando k\to\infty, também x_k\to\infty. Isso mostra que não existe limite superior finito para (x_n). Em outras palavras, a sequência é não limitada acima (embora seja limitada inferiormente por 1).

Resposta

A sequência (x_n) não é limitada.

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