Verifique, em cada caso, se as sequências dadas pelas expressões abaixo são, ou não, limitadas.
\left(\frac{5 n+1}{2 n+1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n = \frac{5n+1}{2n+1},
com n\in\mathbb{N}, e pede para verificar se ela é limitada. O conteúdo usado será definição de sequência limitada (existe cota superior e inferior finitas) e análise de limite e monotonicidade para encontrar essas cotas.

Passo 2

Calculemos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{5n+1}{2n+1} =\frac{5}{2}.
Como o limite existe e é finito, intuímos que a sequência não diverge e pode ter cota superior próxima a 5/2.

Passo 3

Verifiquemos se (a_n) é monotônica, comparando a_{n+1} e a_n:
a_{n+1}-a_n =\frac{5(n+1)+1}{2(n+1)+1}-\frac{5n+1}{2n+1} =\frac{5n+6}{2n+3}-\frac{5n+1}{2n+1}.
Colocando em denominador comum (2n+3)(2n+1), o numerador fica
(5n+6)(2n+1)-(5n+1)(2n+3) =10n^2+17n+6-(10n^2+17n+3)=3>0.
O denominador (2n+3)(2n+1) é positivo, logo a_{n+1}-a_n>0. Portanto (a_n) é estritamente crescente.

Passo 4

Como (a_n) é crescente, seu valor mínimo ocorre em n=1:
a_1=\frac{5\cdot1+1}{2\cdot1+1}=\frac{6}{3}=2.
E como tende a \tfrac{5}{2} sem ultrapassar esse valor, temos
2\le a_n<\frac{5}{2}\quad\forall n\in\mathbb{N}.
Assim, 2 é cota inferior e \tfrac{5}{2} é cota superior.

Resposta

A sequência é limitada, com cota inferior 2 e cota superior \tfrac{5}{2}.

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