Verifique, em cada caso, se as sequências dadas pelas expressões abaixo são, ou não, limitadas.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
com
, e pede para verificar se ela é limitada. O conteúdo usado será definição de sequência limitada (existe cota superior e inferior finitas) e análise de limite e monotonicidade para encontrar essas cotas.
Passo 2
Calculemos o limite quando
:
Como o limite existe e é finito, intuímos que a sequência não diverge e pode ter cota superior próxima a
.
Passo 3
Verifiquemos se
é monotônica, comparando
e
:
Colocando em denominador comum
, o numerador fica
O denominador
é positivo, logo
. Portanto
é estritamente crescente.
Passo 4
Como
é crescente, seu valor mínimo ocorre em
:
E como tende a
sem ultrapassar esse valor, temos
Assim,
é cota inferior e
é cota superior.
Resposta
A sequência é limitada, com cota inferior
e cota superior
.