Considere que uma indústria compra de um certo fabricante, pinos cuja resistência média à ruptura é especificada em 60 kgf (valor nominal da especificação) com desvio padrão de 5 kgf . Sabe-se que a resistência média segue uma distribuição normal. Em determinado dia, a indústria recebeu um grande lote de pinos e a equipe técnica da indústria desejou verificar se o lote atendia às especificações. Para isso, essa equipe selecionou uma amostra aleatória de 16 pinos, obtendo média igual a 65 kgf . Ao nível de significância de 0,0455 e usando um teste bilateral, verifique se o lote atende às especificações.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre estatística, mais especificamente sobre testes de hipóteses. A indústria quer saber se os pinos que comprou estão realmente tendo a resistência média especificada de 60 kgf. Para isso, a equipe técnica pegou uma amostra de 16 pinos que tiveram uma média de resistência de 65 kgf. Nosso objetivo é verificar, usando um teste estatístico bilateral com nível de significância de 0,0455, se esse lote de pinos atende ou não às especificações.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir as hipóteses para o nosso teste. No teste de hipóteses, temos duas hipóteses principais:
  • Hipótese nula (H₀): A média da resistência dos pinos é igual a 60 kgf.
    H₀: mu = 60 , kgf
  • Hipótese alternativa (H₁): A média da resistência dos pinos é diferente de 60 kgf.
    H₁: mu neq 60 , kgf
Estamos usando um teste bilateral porque queremos verificar se a média é diferente, seja maior ou menor, do que o valor especificado.

Passo 3

Agora, vamos calcular o estatístico de teste. Como a distribuição da resistência é normal e conhecemos o desvio padrão da população (5 kgf), podemos usar o teste z.
A fórmula do teste z é:
z = barx - musigmaraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra (65 kgf)
  • mu é a média especificada (60 kgf)
  • sigma é o desvio padrão (5 kgf)
  • n é o tamanho da amostra (16)
Vamos calcular:
z = 65 - 605raiz16 = 554 = 51,25 = 4

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar os valores críticos para o nosso nível de significância de 0,0455 em um teste bilateral. Isso significa que teremos duas regiões críticas: uma à esquerda e outra à direita da distribuição normal.
Como o teste é bilateral, dividimos o nível de significância igualmente entre as duas caudas:
alpha/2 = 0,0455 / 2 = 0,02275
Usando uma tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos os valores críticos correspondentes a zalpha/2:
z0,02275 approx pm 2

Passo 5

Agora, comparamos o valor calculado de z com os valores críticos:
  • Nosso valor calculado de z foi 4.
  • Os valores críticos são aproximadamente -2 e +2.
Como 4 é maior que 2, nosso valor está na região crítica direita.

Passo 6

Finalmente, decidimos se rejeitamos ou não a hipótese nula:
  • Se o valor de z calculado estiver além dos valores críticos, rejeitamos a hipótese nula.
  • Caso contrário, não rejeitamos.
No nosso caso, z = 4 está além de z = 2, então rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que o lote de pinos não atende às especificações de resistência média à ruptura de 60 kgf.

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