Uma organização de educação de consumidores afirma que há diferença entre a média da dívida do cartão de crédito de homens e mulheres de certa região. Os resultados de uma pesquisa aleatória com 200 indivíduos de cada grupo são apresentados a seguir.
Mulheres Homens
barx1=2290 reais barx2=2370 reais
s 1=750 reais s 2=800 reais
n 1=200 n 2=200
Faça um teste de hipóteses e verifique se os resultados apoiam a afirmação da organização, usando um nível de significância de 5%.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a pergunta aqui. A organização quer saber se existe uma diferença na média da dívida do cartão de crédito entre homens e mulheres numa certa região. Para isso, vamos usar um teste de hipóteses comparando as médias de dois grupos independentes. Vamos precisar das médias, desvios padrões e tamanhos das amostras de cada grupo para fazer isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos formular as hipóteses que vamos testar.
  • Hipótese Nula ($ H_0 $): Não há diferença nas médias das dívidas entre homens e mulheres. Ou seja, $ \mu_1 = \mu_2 $.
  • Hipótese Alternativa ($ H_a $): Há uma diferença nas médias das dívidas entre homens e mulheres. Ou seja, $ \mu_1 \neq \mu_2 $.

Passo 3

Agora, vamos verificar as condições para realizar o teste:
  1. Independência das amostras: As amostras de homens e mulheres são aleatórias e independentes.
  2. Distribuição normal: Com $ n_1 = n_2 = 200 $, que são tamanhos grandes, podemos assumir que a distribuição das médias é aproximadamente normal devido ao Teorema Central do Limite.
Como essas condições estão satisfeitas, podemos prosseguir.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste estatístico. Usaremos o teste z para duas amostras independentes.
Primeiro, calculamos o erro padrão da diferença das médias:
SE = raizs1^2n1 + s2^2n2
Substituindo os valores:
SE = raiz750^2200 + 800^2200 = raiz562500200 + 640000200 = raiz2812.5 + 3200 = raiz6012.5 approx 77.55
Agora, calculamos o valor do z:
z = barx1 - barx2SE = 2290 - 237077.55 = -8077.55 approx -1.032

Passo 5

Vamos determinar o valor crítico ou o p-valor para comparar com o nível de significância de 5%.
Como é um teste bicaudal ($ H_a: \mu_1 \neq \mu_2 $), dividimos o nível de significância por 2 para cada lado.
Usando a tabela z, para $ z \approx -1.032 $, o p-valor correspondente é aproximadamente 0.303.

Passo 6

Agora, comparamos o p-valor com o nível de significância:
  • Se $ p \leq 0.05 $, rejeitamos $ H_0 $.
  • Se $ p > 0.05 $, não rejeitamos $ H_0 $.
No nosso caso, $ p \approx 0.303 > 0.05 $. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos dados fornecidos e no teste realizado, não há evidências suficientes para afirmar que existe uma diferença significativa na média da dívida do cartão de crédito entre homens e mulheres na região analisada, ao nível de significância de 5%.

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