Uma organização de educação de consumidores afirma que há diferença entre a média da dívida do cartão de crédito de homens e mulheres de certa região. Os resultados de uma pesquisa aleatória com 200 indivíduos de cada grupo são apresentados a seguir.
Mulheres | Homens |
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Faça um teste de hipóteses e verifique se os resultados apoiam a afirmação da organização, usando um nível de significância de 5%.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a pergunta aqui. A organização quer saber se existe uma diferença na média da dívida do cartão de crédito entre homens e mulheres numa certa região. Para isso, vamos usar um teste de hipóteses comparando as médias de dois grupos independentes. Vamos precisar das médias, desvios padrões e tamanhos das amostras de cada grupo para fazer isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos formular as hipóteses que vamos testar.
- Hipótese Nula ($ H_0 $): Não há diferença nas médias das dívidas entre homens e mulheres. Ou seja, $ \mu_1 = \mu_2 $.
- Hipótese Alternativa ($ H_a $): Há uma diferença nas médias das dívidas entre homens e mulheres. Ou seja, $ \mu_1 \neq \mu_2 $.
Passo 3
Agora, vamos verificar as condições para realizar o teste:
- Independência das amostras: As amostras de homens e mulheres são aleatórias e independentes.
- Distribuição normal: Com $ n_1 = n_2 = 200 $, que são tamanhos grandes, podemos assumir que a distribuição das médias é aproximadamente normal devido ao Teorema Central do Limite.
Como essas condições estão satisfeitas, podemos prosseguir.
Passo 4
Vamos calcular o valor do teste estatístico. Usaremos o teste z para duas amostras independentes.
Primeiro, calculamos o erro padrão da diferença das médias:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos o valor do z:
Passo 5
Vamos determinar o valor crítico ou o p-valor para comparar com o nível de significância de 5%.
Como é um teste bicaudal ($ H_a: \mu_1 \neq \mu_2 $), dividimos o nível de significância por 2 para cada lado.
Usando a tabela z, para $ z \approx -1.032 $, o p-valor correspondente é aproximadamente 0.303.
Passo 6
Agora, comparamos o p-valor com o nível de significância:
- Se $ p \leq 0.05 $, rejeitamos $ H_0 $.
- Se $ p > 0.05 $, não rejeitamos $ H_0 $.
No nosso caso, $ p \approx 0.303 > 0.05 $. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base nos dados fornecidos e no teste realizado, não há evidências suficientes para afirmar que existe uma diferença significativa na média da dívida do cartão de crédito entre homens e mulheres na região analisada, ao nível de significância de 5%.