Considere as informações fornecidas:
g(2)=3 \quad g^{\prime}(2)=-2 \quad h(2)=-1 \quad h^{\prime}(2)=4
Determine f^{\prime}(2), em cada situação:
f(x)=3-g(x)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
g(2)=3,\quad g^{\prime}(2)=-2,\quad h(2)=-1,\quad h^{\prime}(2)=4
A pergunta específica que vamos resolver aqui é: determinar f^{\prime}(2) no caso
f(x)=3-g(x).

Passo 2

Lembrete das regras de derivação que vamos usar (explicando como se fosse na prova):
  • A derivada de uma constante é zero. Ou seja, se c é número fixo então
\frac{d}{dx}c=0.
Isto faz sentido porque uma função constante não varia com x, sua “inclinação” é zero.
  • A derivada é linear: para constantes a,b e funções u(x),v(x) vale
\frac{d}{dx}\big(a\,u(x)+b\,v(x)\big)=a\,u'(x)+b\,v'(x).
Em particular, para o sinal negativo temos
\frac{d}{dx}\big(-g(x)\big)=-g'(x).

Passo 3

Aplicando essas regras à função dada f(x)=3-g(x):
a parte 3 é constante, então sua derivada é 0;
a parte -g(x) tem derivada -g'(x).
Portanto, derivando termo a termo:
f'(x)=0 - g'(x) = -g'(x).

Passo 4

Agora avaliamos a derivada em x=2. Pela expressão anterior:
f'(2) = -g'(2).

Passo 5

Substituímos o valor fornecido g'(2)=-2:
f'(2) = -\big(-2\big) = 2.
Logo a resposta é 2.

Passo 6

Verificação rápida (só para ganhar confiança): se quiséssemos construir uma g(x) que tenha g'(2)=-2 e g(2)=3, uma escolha simples é g(x)=-2x+7 (pois g'(x)=-2 e g(2)=-4+7=3). Então
f(x)=3-g(x)=3-(-2x+7)=2x-4,
e de fato f'(x)=2 para todo x, então f'(2)=2. Consistente com o resultado acima.

Resposta

f'(2)=2

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