Experimentos de filtração a pressão constante foram realizados com uma solução de carbonato de cálcio e água para obtenção dos valores de resistência da torta e resistência do meio filtrante, para duas concentrações e duas pressões diferentes. O meio filtrante utilizado em todos os experimentos foi o mesmo (papel filtro). Os resultados obtidos são apresentados na tabela abaixo:
Table 1: Tabela 1. Valores de \alpha e Rm para diferentes concentrações e pressões.
\captionsetup{labelformat=empty}
Concentração (g/L) Pressão (kPa) \alpha\left(10^{10} \mathrm{~m} / \mathrm{kg}\right) \operatorname{Rm}\left(10^{10} 1 / \mathrm{m}\right)
20 5 9,3 1,56
20 8 13,0 4,16
40 5 8,5 2,29
40 8 15,0 3,21
A partir dos dados encontrados no experimento responda:
a) As tortas obtidas a partir dessas filtrações são compressíveis ou incompressíveis? Justifique para ambas as concentrações.
b) Os valores obtidos para a resistência do meio filtrante são coerentes? Justifique.
c) A diferença de valores de resistência da torta obtidos para concentrações diferentes a uma mesma pressão é coerente? Justifique para os dois casos.

Passo 1

O enunciado pede três coisas (a, b e c) a partir dos dados experimentais. Dados relevantes fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):\n
Concentração \,=20\\ \mathrm{g/L}:\n
\quad Pressão \,=5\\ \mathrm{kPa} \;\Rightarrow\;\alpha=9{,}3\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg},\;R_m=1{,}56\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}\n
\quad Pressão \,=8\\ \mathrm{kPa} \;\Rightarrow\;\alpha=13{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg},\;R_m=4{,}16\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}\n
Concentração \,=40\\ \mathrm{g/L}:\n
\quad Pressão \,=5\\ \mathrm{kPa} \;\Rightarrow\;\alpha=8{,}5\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg},\;R_m=2{,}29\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}\n
\quad Pressão \,=8\\ \mathrm{kPa} \;\Rightarrow\;\alpha=15{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg},\;R_m=3{,}21\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}\n
O que cada pergunta quer: a) determinar se as tortas são compressíveis ou não, justificando para cada concentração; b) avaliar se os valores de R_m são coerentes (lembrando que o meio filtrante foi o mesmo em todos os experimentos); c) verificar se as diferenças de \alpha entre concentrações diferentes à mesma pressão fazem sentido, para as duas pressões.
(Resolvo a partir daqui.)

Passo 2

Primeiro eu te explico os conceitos fundamentais, bem mastigado.\n
O que é \alpha (resistência específica da torta)?\n
\alpha mede quanto a torta oferece de resistência ao fluxo por unidade de massa de sólidos depositados: unidades típicas \mathrm{m/kg}. Quando a torta fica mais compacta (menos poros), \alpha cresce.\n
O que é R_m (resistência do meio filtrante)?\n
R_m é a resistência fixa do papel-filtro (meio filtrante). Como o meio é o mesmo em todos os experimentos, idealmente R_m não depende da concentração nem da pressão de filtração — é uma propriedade do papel.\n
Como se decide compressível vs incompressível?\n
  • Tortas incompressíveis: \alpha praticamente não muda quando a pressão de filtração \Delta P varia. Ou seja, \alpha é independente de \Delta P.\n
  • Tortas compressíveis: \alpha aumenta com \Delta P (a pressão comprime a torta, reduz porosidade, aumenta resistência específica).\n
    Fórmula de filtração (forma linearizada útil para entender extração de R_m e \alpha):\n
\frac{t}{V}=\frac{\mu\,\alpha\,c}{2\,\Delta P\,A^{2}}\,V+\frac{\mu\,R_{m}}{\Delta P\,A},\n
onde:\n
\mu = viscosidade do fluido (Pa·s),\n
\alpha = resistência específica da torta ( \mathrm{m/kg}),\n
c = concentração de sólidos na suspensão ( \mathrm{kg/m^{3}}),\n
\Delta P = pressão de filtração (Pa),\n
A = área do filtro ( \mathrm{m^{2}}),\n
V = volume filtrado ( \mathrm{m^{3}}),\n
t = tempo (s),\n
R_m = resistência do meio ( \mathrm{m^{-1}}).\n
Nessa equação a parte linear em V tem coeficiente com \alpha (slope) e o termo independente em V (intercept) permite extrair R_m. Se \alpha variar com \Delta P, a análise linear pode dar resultados de R_m diferentes entre experimentos mesmo com o mesmo papel — por isso é importante notar compressibilidade.

Passo 3

Agora aplico o critério compressível/incompressível aos dados: comparar \alpha nas duas pressões para cada concentração.\n
Para \,c=20\\ \mathrm{g/L} (valores da tabela):\n
\alpha_{5\\ \mathrm{kPa}}=9{,}3\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg}\n
\alpha_{8\\ \mathrm{kPa}}=13{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg}\n
Cálculo da mudança relativa:\n
\frac{13{,}0-9{,}3}{9{,}3}= \frac{3{,}7}{9{,}3}\approx0{,}398\quad\text{(≈ \(39{,}8\%\) de aumento)}.\n
Para \,c=40\\ \mathrm{g/L}:\n
\alpha_{5\\ \mathrm{kPa}}=8{,}5\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg}\n
\alpha_{8\\ \mathrm{kPa}}=15{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg}\n
Mudança relativa:\n
\frac{15{,}0-8{,}5}{8{,}5}= \frac{6{,}5}{8{,}5}\approx0{,}7647\quad\text{(≈ \(76{,}5\%\) de aumento)}.\n
Interpretação didática: em ambos os casos \alpha aumenta claramente quando a pressão aumenta de 5 para 8\\ \mathrm{kPa}. Pelo critério explicado no passo anterior, esse comportamento indica que as tortas são compressíveis nas duas concentrações (a compressão aumenta a resistência específica). O aumento é mais pronunciado para c=40\\ \mathrm{g/L}, indicando maior sensibilidade à pressão nessa concentração.

Passo 4

Agora trato de R_m. Relembre: o meio filtrante foi o mesmo (papel), logo idealmente R_m deveria ser aproximadamente constante para todos os ensaios.\n
Valores medidos (retirados da tabela):\n
\,R_m para c=20\\ \mathrm{g/L}: 1{,}56 e 4{,}16 (em 10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}) para 5 e 8\\ \mathrm{kPa} respectivamente.\n
\,R_m para c=40\\ \mathrm{g/L}: 2{,}29 e 3{,}21 (em 10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}) para 5 e 8\\ \mathrm{kPa} respectivamente.\n
Observação imediata: os quatro valores variam entre 1{,}56 e 4{,}16 ( \times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}). Isso é uma variação relativa grande (o maior é ~2,7 vezes o menor).\n
Por que isso é problemático / o que pode causar variação?\n
  • Se \alpha depende da pressão (torta compressível), a linearização usada para extrair R_m (passo 2) pode ficar enviesada: o ajuste linear supõe \alpha constante durante o ensaio; compressibilidade altera o termo linear em V e pode “arrastar” o intercepto, levando a valores de R_m dependentes da pressão.\n
  • Erros experimentais: variações na montagem do filtro, área efetiva A ligeiramente diferente, bolhas, heterogeneidade do papel, erro de leitura de tempo/volume, conversões de unidades, etc.\n
  • Procedimento de análise: se alguém usou a mesma forma de ajuste sem considerar compressibilidade, R_m pode sair incorreto.\n
    Conclusão didática: como o mesmo papel foi usado, esperamos R_m aproximadamente constante. Os valores medidos não são coerentes entre si (variação significativa). A explicação mais plausível é combinação de compressibilidade da torta (que torna a extração de R_m via linearização enviesada) e erros/práticas experimentais. Entre os quatro resultados, os dois do caso c=40\\ \mathrm{g/L} (2{,}29 e 3{,}21) são relativamente mais próximos entre si do que os do caso c=20\\ \mathrm{g/L}, mas ainda assim mostram variação.

Passo 5

Agora analiso a parte (c): coerência das diferenças de \alpha entre concentrações distintas à mesma pressão.\n
Compare para \Delta P=5\\ \mathrm{kPa}:\n
\alpha_{20}=9{,}3\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg} e \alpha_{40}=8{,}5\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg}.\n
Diferença relativa:\n
\frac{9{,}3-8{,}5}{8{,}5}=\frac{0{,}8}{8{,}5}\approx0{,}094\quad\text{(≈ \(9{,}4\%\) )}.\n
Interpretação: valores muito próximos (diferença ~10%) — isso é perfeitamente coerente experimentalmente. Pequenas variações podem vir de ruído experimental e de como a torta se forma (empacotamento ligeiramente diferente) mesmo com o mesmo sólido químico.\n
Compare para \Delta P=8\\ \mathrm{kPa}:\n
\alpha_{20}=13{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg} e \alpha_{40}=15{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg}.\n
Diferença relativa:\n
\frac{15{,}0-13{,}0}{13{,}0}=\frac{2{,}0}{13{,}0}\approx0{,}1538\quad\text{(≈ \(15{,}4\%\) )}.\n
Interpretação: diferença um pouco maior (~15%), mas ainda moderada. Fisicamente, não há uma regra universal que diga que \alpha deve aumentar ou diminuir com concentração de suspensão — depende de como as partículas se depositam e se empacotam. Em muitos casos, à mesma pressão, \alpha varia pouco com a concentração (especialmente quando a caracterização é feita por unidade de massa de sólidos): diferenças pequenas a moderadas como as observadas são aceitáveis.\n
Observação adicional: a maior sensibilidade de \alpha à pressão para c=40\\ \mathrm{g/L} (veja passo 3) pode explicar por que a diferença entre concentrações é maior em 8\\ \mathrm{kPa}. Ou seja, a interação entre concentração e compressibilidade pode originar pequenas diferenças de \alpha à mesma pressão.

Passo 6

Vou resumir em respostas objetivas (cada linha para cada item), para você conferir rápido na prova.

Resposta

(a) As tortas são compressíveis para ambas as concentrações, pois \alpha aumenta claramente com a pressão: de 9{,}3 para 13{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg} em 20\\ \mathrm{g/L} (~ 39{,}8\% de aumento) e de 8{,}5 para 15{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg} em 40\\ \mathrm{g/L} (~ 76{,}5\% de aumento).\n
(b) Não são coerentes: R_m deveria ser aproximadamente constante (mesmo papel filtro), mas os valores variam significativamente ( 1{,}56 a 4{,}16\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}). Isso provavelmente resulta de compressibilidade da torta (que vicia a extração de R_m pela linearização) e/ou erros/variabilidade experimentais.\n
(c) Sim, as diferenças de \alpha entre concentrações à mesma pressão são coerentes: em 5\\ \mathrm{kPa} os valores são muito próximos ( 9{,}3 vs 8{,}5\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg}, ≈ 9{,}4\% de diferença) e em 8\\ \mathrm{kPa} a diferença é moderada ( 13{,}0 vs 15{,}0\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg}, ≈ 15{,}4\%); variações desse tamanho são plausíveis fisicamente e condizentes com efeitos de empacotamento e com a maior compressibilidade em c=40\\ \mathrm{g/L}.

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