Considere instrumentos cujas medições são dadas pelas funções:
a) y=m(p-q+r), sendo:
\begin{array}{cc} m=1, & \sigma_{m}=0,0 ; \\\ p=4,05, & \sigma_{p}=0,11 ; \\\ q=7,43, & \sigma_{q}=0,09 ; \\\ r=8,14, & \sigma_{r}=0,25 . \end{array}
Determine a incerteza para cada caso.

Passo 1

O enunciado pede a incerteza da grandeza y definida por
y = m\,(p - q + r)
Os dados fornecidos (peguei todos do enunciado) são:
\begin{array}{ll} m = 1, & \sigma_{m} = 0,0;\\[4pt] p = 4,05, & \sigma_{p} = 0,11;\\[4pt] q = 7,43, & \sigma_{q} = 0,09;\\[4pt] r = 8,14, & \sigma_{r} = 0,25. \end{array}
O que se pede: calcular a incerteza de y (ou seja \sigma_{y}) a partir das incertezas das variáveis independentes.]

Passo 2

Princípio de propagação de incertezas que vamos usar (explicando bem): se temos uma função \,y=f(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}) e as variáveis x_{i} são independentes (as incertezas não estão correlacionadas) e pequenas, a variância de y é dada por
\sigma_{y}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\right)^{2}\sigma_{x_{i}}^{2}.
O que isto diz na prática: calcular a sensibilidade de y a cada variável (derivada parcial), multiplicar o quadrado dessa sensibilidade pela variância da variável, e somar tudo. A raiz quadrada dá a incerteza padrão \sigma_{y}.
Aplicando isto ao nosso caso \,y=m(p-q+r), as variáveis são m,p,q,r. Primeiro calculemos as derivadas parciais (mostro o porquê de cada termo):
\frac{\partial y}{\partial m}=p-q+r,\qquad \frac{\partial y}{\partial p}=m,\qquad \frac{\partial y}{\partial q}=-m,\qquad \frac{\partial y}{\partial r}=m.

Passo 3

Agora escrevemos a expressão da variância usando as derivadas:
\sigma_{y}^{2}=(p-q+r)^{2}\,\sigma_{m}^{2}+m^{2}\,\sigma_{p}^{2}+(-m)^{2}\,\sigma_{q}^{2}+m^{2}\,\sigma_{r}^{2}.
Como (-m)^{2}=m^{2}, isso simplifica para
\sigma_{y}^{2}=(p-q+r)^{2}\,\sigma_{m}^{2}+m^{2}\,(\sigma_{p}^{2}+\sigma_{q}^{2}+\sigma_{r}^{2}).

Passo 4

Substituímos os números (faço as contas passo a passo; atenção aos decimais):
Primeiro calcule p-q+r:
p-q+r = 4,05 - 7,43 + 8,14 = 4,76.
Também temos m=1 e \sigma_{m}=0,0, portanto o primeiro termo será nulo (ou praticamente nulo):
(p-q+r)^{2}\,\sigma_{m}^{2} = 4,76^{2}\cdot 0,0^{2} = 0.
Agora calcule os quadrados das incertezas individuais:
\sigma_{p}^{2} = 0,11^{2} = 0,0121,
\sigma_{q}^{2} = 0,09^{2} = 0,0081,
\sigma_{r}^{2} = 0,25^{2} = 0,0625.
Somando:
\sigma_{p}^{2}+\sigma_{q}^{2}+\sigma_{r}^{2}=0,0121+0,0081+0,0625=0,0827.
Como m^{2}=1^{2}=1, obtemos
\sigma_{y}^{2}=0 + 1\cdot 0,0827 = 0,0827.
Tirando raiz quadrada para obter a incerteza padrão:
\sigma_{y}=\sqrt{0,0827}\approx 0,2877\approx 0,29\\ (\text{arredondando para duas cifras significativas na incerteza}).

Passo 5

Calcule também o valor nominal de y (útil para apresentar o resultado final):
y = m(p-q+r) = 1\cdot 4,76 = 4,76.
Normalmente apresentamos o resultado como y = \text{valor} \pm \sigma_{y}. A incerteza foi arredondada para duas cifras significativas (prática comum); o valor acompanha o mesmo nível de precisão.

Resposta

y = 4,76 \pm 0,29

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