Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico das funções abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico da função” dada por
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - A pergunta exige duas coisas: (1) assíntotas horizontais e (2) assíntotas verticais do gráfico de
.
Passo 2
Vou recordar, de forma curta e didática, o que é cada tipo de assíntota e como a gente costuma detectá‑las na prova:
-
Assíntota vertical: uma reta
é assíntota vertical se, ao nos aproximarmos de por um dos lados, a função diverge para ou . Formalmente, se qualquer uma das quantidades ou for ou , então é assíntota vertical. Na prática, buscamos pontos onde o denominador zera (ou a função fica indefinida) e verificamos o comportamento das vizinhanças. -
Assíntota horizontal: uma reta
é assíntota horizontal quando ou/ e . Em provas é muito comum calcular os limites na direita e na esquerda do infinito.
Agora vamos aplicar essas ideias passo a passo à nossa função.
Passo 3
Primeiro: domínio e possibilidade de assíntotas verticais.
A raiz no denominador é
. Observação matemática importante:
logo
Portanto o denominador nunca é zero e a função está definida para todo
. Conclusão prática (sem pular raciocínio): não existem pontos em que o denominador zere ou faça a função explodir verticalmente; assim, não há assíntotas verticais.
Passo 4
Agora vamos calcular os limites no infinito para achar assíntotas horizontais. Primeiro, para
. Uma técnica padrão: fatorar
dentro da raiz ou dividir por
(para
isso é legal). Para
temos
então
Como
quando
, obtemos
Isto significa que a reta
é uma assíntota horizontal pela direita.
Passo 5
Agora o limite para
. Aqui é prático usar o valor absoluto: para qualquer
,
logo
Note que
se
e
se
. Para
temos
e
, portanto
Isto mostra que a reta
é uma assíntota horizontal pela esquerda.
Passo 6
Resumo do que já provamos e interpretação geométrica leve (para te dar confiança): a função é definida para todos os
, não explode em nenhum ponto (portanto sem assíntotas verticais), e ao ir para a direita o valor de
se aproxima de
, enquanto ao ir para a esquerda se aproxima de
. Visualmente, o gráfico se aproxima das retas horizontais
e
nas respectivas extremidades.
Resposta
Assíntotas horizontais:
e
.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas verticais: nenhuma.