Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico das funções abaixo:
h(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}};

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre, caso existam, as assíntotas horizontais e verticais de cada gráfico da função” dada por h(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é h(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
  • A pergunta exige duas coisas: (1) assíntotas horizontais e (2) assíntotas verticais do gráfico de h.

Passo 2

Vou recordar, de forma curta e didática, o que é cada tipo de assíntota e como a gente costuma detectá‑las na prova:
  • Assíntota vertical: uma reta x=a é assíntota vertical se, ao nos aproximarmos de a por um dos lados, a função diverge para +\infty ou -\infty. Formalmente, se qualquer uma das quantidades \lim_{x\to a^-} h(x) ou \lim_{x\to a^+} h(x) for +\infty ou -\infty, então x=a é assíntota vertical. Na prática, buscamos pontos onde o denominador zera (ou a função fica indefinida) e verificamos o comportamento das vizinhanças.
  • Assíntota horizontal: uma reta y=L é assíntota horizontal quando \lim_{x\to+\infty} h(x)=L ou/ e \lim_{x\to-\infty} h(x)=L. Em provas é muito comum calcular os limites na direita e na esquerda do infinito.
Agora vamos aplicar essas ideias passo a passo à nossa função.

Passo 3

Primeiro: domínio e possibilidade de assíntotas verticais.
A raiz no denominador é \sqrt{x^{2}+1}. Observação matemática importante:
x^{2}+1 \ge 1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R},
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\sqrt{x^{2}+1}\ge 1\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Portanto o denominador nunca é zero e a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. Conclusão prática (sem pular raciocínio): não existem pontos em que o denominador zere ou faça a função explodir verticalmente; assim, não há assíntotas verticais.

Passo 4

Agora vamos calcular os limites no infinito para achar assíntotas horizontais. Primeiro, para x\to+\infty. Uma técnica padrão: fatorar x^{2} dentro da raiz ou dividir por x (para x>0 isso é legal). Para x>0 temos
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}},
então
h(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}\quad(x>0).
Como \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to+\infty, obtemos
\lim_{x\to+\infty} h(x)=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1.
Isto significa que a reta y=1 é uma assíntota horizontal pela direita.

Passo 5

Agora o limite para x\to-\infty. Aqui é prático usar o valor absoluto: para qualquer x\neq 0,
\sqrt{x^{2}+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}},
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h(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\frac{x/|x|}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}.
Note que x/|x|=1 se x>0 e x/|x|=-1 se x<0. Para x\to-\infty temos x/|x|\to -1 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0, portanto
\lim_{x\to-\infty} h(x)=\frac{-1}{\sqrt{1+0}}=-1.
Isto mostra que a reta y=-1 é uma assíntota horizontal pela esquerda.

Passo 6

Resumo do que já provamos e interpretação geométrica leve (para te dar confiança): a função é definida para todos os x, não explode em nenhum ponto (portanto sem assíntotas verticais), e ao ir para a direita o valor de h(x) se aproxima de 1, enquanto ao ir para a esquerda se aproxima de -1. Visualmente, o gráfico se aproxima das retas horizontais y=1 e y=-1 nas respectivas extremidades.

Resposta

Assíntotas horizontais: y=1 e y=-1.
Assíntotas verticais: nenhuma.

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