Considere
e as integrais
onde
parametriza a superfície da esfera
definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com vetores e integrais múltiplas. Mais especificamente, temos um campo vetorial $ F(x, y, z) = (x, y, z) $ e duas integrais:
Aqui, $ g: D \rightarrow \mathbb{R}^{3} $ é uma parametrização da superfície da esfera unitária $ \mathcal{E} $ definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. Nossa meta é entender e calcular essas integrais usando conceitos de cálculo vetorial, como divergência e parametrização de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de $ F $, denotada por $ \operatorname{div} F $, mede o quanto o vetor $ F $ está “expandindo” ou “contraindo” em cada ponto do espaço. Para um campo vetorial $ F = (F_x, F_y, F_z) $, a divergência é calculada por:
Aplicando isso ao nosso $ F(x, y, z) = (x, y, z) $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral tripla $ \mathrm{R}_1 $:
Sabemos que $ \operatorname{div} F = 3 $, então:
A integral $ \iiint_{\mathcal{E}} dx , dy , dz $ representa o volume da esfera unitária $ \mathcal{E} $. O volume de uma esfera de raio $ r $ é dado por:
Como nosso raio $ r = 1 $:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral superficial $ \mathrm{R}_2 $:
Aqui, $ g(\varphi, \theta) $ é a parametrização da esfera unitária. Em coordenadas esféricas, podemos parametrizar $ \mathcal{E} $ como:
Onde $ \varphi $ é o ângulo polar e $ \theta $ é o ângulo azimutal.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
O produto vetorial $ \frac{\partial g}{\partial \varphi} \times \frac{\partial g}{\partial \theta} $ resulta no vetor normal à superfície. Calculando:
Agora, substituímos $ F(g(\varphi, \theta)) = g(\varphi, \theta) = (\sin \varphi \cos \theta, \sin \varphi \sin \theta, \cos \varphi) $:
Simplificando:
Portanto, a integral $ \mathrm{R}_2 $ fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a $ \varphi $:
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
Ambas as integrais $ \mathrm{R}_1 $ e $ \mathrm{R}_2 $ resultam em $ 4\pi $.