Considere F(x, y, z)=(x, y, z) e as integrais
l R 1=integralegral triplaE div F d x d y d z R 2=integralegral duplaD F(g(varphi, theta)) cdot(partial gpartial varphi times partial gpartial theta) d varphi d theta
onde g: D R^3 parametriza a superfície da esfera E definida por x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente trabalhar com vetores e integrais múltiplas. Mais especificamente, temos um campo vetorial $ F(x, y, z) = (x, y, z) $ e duas integrais:
F(x, y, z) = (x, y, z)
Aqui, $ g: D \rightarrow \mathbb{R}^{3} $ é uma parametrização da superfície da esfera unitária $ \mathcal{E} $ definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 $. Nossa meta é entender e calcular essas integrais usando conceitos de cálculo vetorial, como divergência e parametrização de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de $ F $, denotada por $ \operatorname{div} F $, mede o quanto o vetor $ F $ está “expandindo” ou “contraindo” em cada ponto do espaço. Para um campo vetorial $ F = (F_x, F_y, F_z) $, a divergência é calculada por:
F
Aplicando isso ao nosso $ F(x, y, z) = (x, y, z) $:
div F

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral tripla $ \mathrm{R}_1 $:
R1
Sabemos que $ \operatorname{div} F = 3 $, então:
R1 = integral triplaE div F , dx , dy , dz
A integral $ \iiint_{\mathcal{E}} dx , dy , dz $ representa o volume da esfera unitária $ \mathcal{E} $. O volume de uma esfera de raio $ r $ é dado por:
div F = 3
Como nosso raio $ r = 1 $:
R1 = integral triplaE 3 , dx , dy , dz = 3 integral triplaE dx , dy , dz
Portanto:
integral triplaE dx , dy , dz

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral superficial $ \mathrm{R}_2 $:
R2
Aqui, $ g(\varphi, \theta) $ é a parametrização da esfera unitária. Em coordenadas esféricas, podemos parametrizar $ \mathcal{E} $ como:
R2 = integral duplaD F(g(varphi, theta)) cdot ( partial gpartial varphi times partial gpartial theta ) dvarphi , dtheta
Onde $ \varphi $ é o ângulo polar e $ \theta $ é o ângulo azimutal.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
g(varphi, theta)
E
O produto vetorial $ \frac{\partial g}{\partial \varphi} \times \frac{\partial g}{\partial \theta} $ resulta no vetor normal à superfície. Calculando:
g(varphi, theta) = (sin varphi cos theta, sin varphi sin theta, cos varphi)
Agora, substituímos $ F(g(\varphi, \theta)) = g(\varphi, \theta) = (\sin \varphi \cos \theta, \sin \varphi \sin \theta, \cos \varphi) $:
varphi
Simplificando:
theta
partial gpartial varphi = (cos varphi cos theta, cos varphi sin theta, -sin varphi)
partial gpartial theta = (-sin varphi sin theta, sin varphi cos theta, 0)
partial gpartial varphi times partial gpartial theta
partial gpartial varphi times partial gpartial theta = (sin^2 varphi cos theta, sin^2 varphi sin theta, sin varphi cos varphi)
F(g(varphi, theta)) = g(varphi, theta) = (sin varphi cos theta, sin varphi sin theta, cos varphi)
Portanto, a integral $ \mathrm{R}_2 $ fica:
F(g(varphi, theta)) cdot ( partial gpartial varphi times partial gpartial theta ) = (sin varphi cos theta)(sin^2 varphi cos theta) + (sin varphi sin theta)(sin^2 varphi sin theta) + (cos varphi)(sin varphi cos varphi)

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral dupla:
R2 = integral0^2pi integral0^pi sin varphi , dvarphi , dtheta
Primeiro, integramos em relação a $ \varphi $:
varphi
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
integral0^pi sin varphi , dvarphi = [-cos varphi]0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 2

Resposta

Ambas as integrais $ \mathrm{R}_1 $ e $ \mathrm{R}_2 $ resultam em $ 4\pi $.

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