Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
(f)
;
(f)
Passo 1
Estamos com a função
. O objetivo é encontrar o domínio e esboçar o gráfico. Esse exercício envolve funções racionais, em especial estudar onde a expressão é válida (domínio), identificar assíntotas e simetrias para montar o esboço.
Passo 2
Para determinar o domínio, a gente lembra que não pode dividir por zero. A condição é
, ou seja
. Então o domínio é
.
Passo 3
Agora vamos analisar o comportamento para ver as assíntotas. Quando
se aproxima de zero, temos
Logo há uma assíntota vertical em
. Quando
,
indicando uma assíntota horizontal em
.
Passo 4
Observando que
, concluímos que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
. Em cada ramo (positivo e negativo de
) a função é decrescente, indo de
próximo a
até se aproximar de zero em
.
Passo 5
Para ajudar no esboço, podemos anotar alguns pontos: por exemplo,
,
,
. Esses valores mostram bem a forma dos ramos da hipérbole.
Passo 6
Com todas essas informações — domínio, assíntotas, simetria e pontos de referência — podemos desenhar o esboço: dois ramos de hipérbole nos quadrantes superiores, próximos de infinito em
e aproximando-se de zero conforme
.
Resposta
Domínio:
. Gráfico: dois ramos de hipérbole simétricos ao eixo
, com assíntota vertical em
e horizontal em
, decrescendo de
para 0 em cada ramo.