Determine o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
(f) h(x)=1x^2;

Passo 1

Estamos com a função h(x)=1x^2. O objetivo é encontrar o domínio e esboçar o gráfico. Esse exercício envolve funções racionais, em especial estudar onde a expressão é válida (domínio), identificar assíntotas e simetrias para montar o esboço.

Passo 2

Para determinar o domínio, a gente lembra que não pode dividir por zero. A condição é x^2 neq 0, ou seja x neq 0. Então o domínio é (-infty,0)cup(0,infty).

Passo 3

Agora vamos analisar o comportamento para ver as assíntotas. Quando x se aproxima de zero, temos
limxto0h(x)=limxto01x^2=+infty
Logo há uma assíntota vertical em x=0. Quando xtopminfty,
limxtopminftyh(x)=0,
indicando uma assíntota horizontal em y=0.

Passo 4

Observando que h(-x)=1(-x)^2=1x^2=h(x), concluímos que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Em cada ramo (positivo e negativo de x) a função é decrescente, indo de +infty próximo a x=0 até se aproximar de zero em pminfty.

Passo 5

Para ajudar no esboço, podemos anotar alguns pontos: por exemplo, h(1)=1, h(2)=tfrac14, h(0.5)=4. Esses valores mostram bem a forma dos ramos da hipérbole.

Passo 6

Com todas essas informações — domínio, assíntotas, simetria e pontos de referência — podemos desenhar o esboço: dois ramos de hipérbole nos quadrantes superiores, próximos de infinito em x=0 e aproximando-se de zero conforme xtopminfty.

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty). Gráfico: dois ramos de hipérbole simétricos ao eixo y, com assíntota vertical em x=0 e horizontal em y=0, decrescendo de +infty para 0 em cada ramo.

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