Considere a integral dada em coordenadas polares por
a qual representa a área de uma região
no plano
.
Escreva a região
em coordenadas cartesianas;
Escreva a região
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente pegar uma integral que está em coordenadas polares e descrever a região $ R $ no plano $ xy $ usando coordenadas cartesianas. Isso envolve entender como converter de coordenadas polares para cartesianas, então vamos precisar lembrar das fórmulas de conversão entre essas duas formas de representar pontos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das relações básicas entre coordenadas polares
e cartesianas
:
Também sabemos que:
Agora, a integral dada é:
Essa integral descreve a área da região $ R $ onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi/4 $ (ou 45 graus) e $ r $ varia de $ 0 $ a $ 2 \cos \theta $.
Passo 3
Vamos analisar os limites de $ \theta $ primeiro. Como $ \theta $ vai de $ 0 $ a $ \pi/4 $, isso significa que estamos considerando ângulos que vão do eixo $ x $ positivo até uma linha de 45 graus acima dele. Em coordenadas cartesianas, isso corresponde à região onde $ y \leq x $ e ambos $ x $ e $ y $ são positivos.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o limite de $ r $, que vai de $ 0 $ a $ 2 \cos \theta $. Usando a relação $ x = r \cos \theta $, podemos substituir $ r $ por $ x/\cos \theta $. Assim, temos:
Mas sabemos que $ \cos^2 \theta = \frac{x2}{r2} $, então substituindo:
Isso simplifica para:
Cancelando $ x $ (onde $ x > 0 $):
Passo 5
Reescrevendo a última inequação:
Completando o quadrado para $ x $:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado no ponto $ (1, 0) $ no plano $ xy $.
Resposta
A região $ R $ em coordenadas cartesianas é o conjunto de pontos
que satisfazem:
Isso corresponde a um setor do círculo de raio 1 centrado em $ (1, 0) $, limitado pela reta $ y = x $ no primeiro quadrante.