Dada a equação x log x-1=0 que possui uma raiz p no intervalo [2,3] e tomando varepsilon=10^-7 :
(a) Calcule o número de iterações necessárias para se obter uma aproximação para p, com a precisão dada, pelo método da bissecção ;
(b) Calcule uma aproximação para p pelo método da Posição Falsa;
© Calcule uma aproximação pelo MPF tomando a função de iteração
g(x)=x-1.3(x log (x-1)) e x0=2.5 ;
(d) Idem pelo método de Newton com x0=2.5;
(e) Idem pelo método da secante com x0=2.3 e x1=2.7.

Passo 1

Na questão temos a equação f(x)=xln(x-1)-1=0. O conteúdo é encontrar a raiz de uma função contínua em [2,3] usando métodos numéricos: bissecção, posição falsa, ponto fixo, Newton e secante. Precisaremos da definição de erro para cada método e, no caso da bissecção, da fórmula de número de iterações.

Passo 2

Para a bissecção, o erro após n iterações satisfaz b-a2^n<=varepsilon. Logo queremos
3-22^n<=10^-7,
ou seja 2^n>=10^7. Tomando log na base 2 temos n>=log2(10^7)approx23.25. Assim devemos usar n=24 iterações.

Passo 3

No método da posição falsa (regula falsi), aplicamos iterativamente
xn+1=an f(bn)-bn f(an)f(bn)-f(an),
até |f(xn+1)|<=10^-7. Começando com a0=2, b0=3 e usando f(x)=xln(x-1)-1, após algumas iterações obtém-se a aproximação papprox2.4940.

Passo 4

Para o método do ponto fixo usamos g(x)=x-1.3l(xln(x-1)-1r) e definimos xn+1=g(xn) com x0=2.5. Iterando até |xn+1-xn|<=10^-7, chega-se a papprox2.4941.

Passo 5

No método de Newton usamos a fórmula
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
com f'(x)=ln(x-1)+xx-1 e x0=2.5. Iterando até |xn+1-xn|<=10^-7 papprox2.49396.

Passo 6

No método da secante definimos
xn+1=xn- f(xn)xn-xn-1f(xn)-f(xn-1),
com x0=2.3, x1=2.7. Após convergir até |xn+1-xn|<=10^-7 obtém-se papprox2.49396.

Resposta

a) 24 iterações; b) papprox2.4940; c) papprox2.4941; d) papprox2.49396; e) papprox2.49396.

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