Prove que se lim x X0 f(X)=l, então lim X X0 a f(X)=a l, onde a in R.

Passo 1

Estamos sendo pedidos para mostrar que multiplicar uma função por uma constante faz a sua limite também ser multiplicado por essa constante. O conteúdo aqui é propriedades de limites e vamos precisar da definição de limite (ε–δ).

Passo 2

Recordando a definição de limite: dizer que limXto X0f(X)=l significa que para todo varepsilon>0 existe de0 tal que, sempre que 0<|X - X0|, temos |f(X)-l|.

Passo 3

Primeiro, trate o caso trivial em que a=0. Nesse caso af(X)=0 para todo X e al=0, logo limXto X0af(X)=0=al, e está provado.

Passo 4

Agora suponha aneq0. Observe a diferença entre o produto e o limite multiplicado:
|a f(X) - a l| = |a|,|f(X)-l|

Passo 5

Dado um varepsilon>0, queremos controlar |a f(X)-a l|. Como aneq0, defina
varepsilon' = varepsilon|a|

Passo 6

Pela hipótese limXto X0f(X)=l, existe de0 tal que sempre que 0<|X-X0| temos |f(X)-l|. Então, para esse mesmo de, se 0<|X-X0| segue:
|a f(X)-a l| = |a|,|f(X)-l| < |a|,varepsilon' = |a|,varepsilon|a| = varepsilon

Passo 7

Isso mostra que para todo varepsilon>0 existe de0 com a propriedade acima, ou seja, limXto X0a f(X)=a l.

Resposta

limX X0 a f(X)=a,l

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