Prove que se
, então
, onde
.
Passo 1
Estamos sendo pedidos para mostrar que multiplicar uma função por uma constante faz a sua limite também ser multiplicado por essa constante. O conteúdo aqui é propriedades de limites e vamos precisar da definição de limite (ε–δ).
Passo 2
Recordando a definição de limite: dizer que
significa que para todo
existe
tal que, sempre que
, temos
.
Passo 3
Primeiro, trate o caso trivial em que
. Nesse caso
para todo
e
, logo
, e está provado.
Passo 4
Agora suponha
. Observe a diferença entre o produto e o limite multiplicado:
Passo 5
Dado um
, queremos controlar
. Como
, defina
Passo 6
Pela hipótese
, existe
tal que sempre que
temos
. Então, para esse mesmo
, se
segue:
Passo 7
Isso mostra que para todo
existe
com a propriedade acima, ou seja,
.