Considere a integral dada em coordenadas polares por
a qual representa a área de uma região
no plano
.
Calcule a área da regiao
.
Calcule a área da regiao
Passo 1
Nesse exercício, a gente precisa calcular a área de uma região
no plano
usando coordenadas polares. A integral que representa essa área é:
Vamos resolver isso passo a passo, entendendo cada parte da integral e aplicando as regras de cálculo em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral é dupla, com:
-
variando de até -
variando de até
Isso significa que para cada ângulo
entre
e
, o raio
vai de
até
. A função
dentro da integral é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a
:
A antiderivada de
em relação a
é:
Então, avaliando nos limites de
até
:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. A integral passa a ser:
Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica
.
Passo 5
A identidade que vamos usar é:
Multiplicando ambos os lados por 2, temos:
Isso simplifica nossa integral para:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, sabemos que a antiderivada de
cos 2theta é
sin 2theta2 :
Passo 7
Somando os resultados das duas integrais, obtemos a área da região
R :
Resposta
A área da região
R é: