Considere a integral dada em coordenadas polares por
integral0^pi / t integral0^2 cos theta r d r d theta,
a qual representa a área de uma região R no plano x y.
Calcule a área da regiao R.

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa calcular a área de uma região R no plano xy usando coordenadas polares. A integral que representa essa área é:
integral0^pi / t integral0^2 cos theta r , dr , dtheta
Vamos resolver isso passo a passo, entendendo cada parte da integral e aplicando as regras de cálculo em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral é dupla, com:
  • theta variando de 0 até pi / t
  • r variando de 0 até 2 cos theta
Isso significa que para cada ângulo theta entre 0 e pi / t , o raio r vai de 0 até 2 cos theta . A função r dentro da integral é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a r :
integral0^2 cos theta r , dr
A antiderivada de r em relação a r é:
12 r^2
Então, avaliando nos limites de 0 até 2 cos theta :
12 (2 cos theta)^2 - 12 (0)^2 = 12 cdot 4 cos^2 theta = 2 cos^2 theta

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa. A integral passa a ser:
integral0^pi / t 2 cos^2 theta , dtheta
Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica cos^2 theta .

Passo 5

A identidade que vamos usar é:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Multiplicando ambos os lados por 2, temos:
2 cos^2 theta = 1 + cos 2theta
Isso simplifica nossa integral para:
integral0^pi / t (1 + cos 2theta) , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral0^pi / t 1 , dtheta + integral0^pi / t cos 2theta , dtheta
A primeira integral é simples:
integral0^pi / t 1 , dtheta = theta |0^pi / t = pit
Para a segunda integral, sabemos que a antiderivada de cos 2theta é sin 2theta2 :
integral0^pi / t cos 2theta , dtheta = sin 2theta2 |0^pi / t = sin ( 2pit )2 - 0 = sin ( 2pit )2

Passo 7

Somando os resultados das duas integrais, obtemos a área da região R :
A = pit + sin ( 2pit )2

Resposta

A área da região R é:
A = pit + sin ( 2pit )2

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