Considere a integral dada em coordenadas polares por
a qual representa a área de uma região
no plano
.
Escreva a região
em coordenadas cartesianas;
Escreva a região
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral em coordenadas polares que representa a área de uma região
no plano
. Nosso objetivo aqui é transformar essa região
de coordenadas polares para coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar lembrar como converter de coordenadas polares (
) para cartesianas (
) usando as fórmulas:
Vamos seguir passo a passo para fazer essa conversão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites da integral em coordenadas polares:
Isso significa que
varia de
até
, e para cada
,
vai de
até
.
Passo 3
Agora, vamos usar as fórmulas de conversão:
A condição
pode ser reescrita em termos de
e
. Vamos isolar
na inequação:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 4
Vamos rearranjar a inequação para identificar a forma geométrica:
Completa-se o quadrado para
:
Isso representa um círculo com centro em
e raio
.
Passo 5
Além disso, o ângulo
varia de
até
. Isso significa que estamos considerando apenas uma parte do círculo, dependendo do valor de
. Contudo, sem um valor específico para
, a descrição geral da região
em coordenadas cartesianas é o círculo completo.
Resposta
A região
em coordenadas cartesianas é descrita pela equação: