Considere a integral dada em coordenadas polares por
integral0^pi / t integral0^2 cos theta r d r d theta,
a qual representa a área de uma região R no plano x y.
Escreva a região R em coordenadas cartesianas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral em coordenadas polares que representa a área de uma região R no plano xy . Nosso objetivo aqui é transformar essa região R de coordenadas polares para coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar lembrar como converter de coordenadas polares ( r, theta ) para cartesianas ( x, y ) usando as fórmulas:
x = r cos theta e y = r sin theta
Vamos seguir passo a passo para fazer essa conversão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites da integral em coordenadas polares:
theta in [0, pit] e r in [0, 2 cos theta]
Isso significa que theta varia de 0 até pit , e para cada theta , r vai de 0 até 2 cos theta .

Passo 3

Agora, vamos usar as fórmulas de conversão:
x = r cos theta e y = r sin theta
A condição r <= 2 cos theta pode ser reescrita em termos de x e y . Vamos isolar r na inequação:
r <= 2 cos theta implies r <= 2 cdot xr implies r^2 <= 2x
Lembrando que r^2 = x^2 + y^2 , substituímos:
x^2 + y^2 <= 2x

Passo 4

Vamos rearranjar a inequação para identificar a forma geométrica:
x^2 + y^2 - 2x <= 0 implies (x^2 - 2x + 1) + y^2 <= 1
Completa-se o quadrado para x :
(x - 1)^2 + y^2 <= 1
Isso representa um círculo com centro em (1, 0) e raio 1 .

Passo 5

Além disso, o ângulo theta varia de 0 até pit . Isso significa que estamos considerando apenas uma parte do círculo, dependendo do valor de t . Contudo, sem um valor específico para t , a descrição geral da região R em coordenadas cartesianas é o círculo completo.

Resposta

A região R em coordenadas cartesianas é descrita pela equação:
(x - 1)^2 + y^2 <= 1

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