I=\int_{\sqrt{10}}^{\frac{25 \frac{3}{2}}{\sqrt{14}}} \int_{-\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}}^{\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}} f(x, y) d x d y+\int_{\frac{25}{\sqrt{14}}}^{10} \int_{-\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}}^{\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}} f(x, y) d x d y, para responder aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, a expressão \boldsymbol{I} pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
i) x \in[ □ , □ ].
ii) y \in[ □ , □ ].
b) Transformando a expressão I para coordenadas polares, I também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i) \theta \in[ □ , □ ].
ii) r \in[ □ ,
□ ].
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
(Observação: interpretou-se \frac{25 \frac{3}{2}}{\sqrt{14}} como \dfrac{125}{\sqrt{14}}.)
Perguntas:
a) Reescrever I tomando x como variável “externa” (ou seja, trocar a ordem de integração): isso pede os limites para
i) x\in[\; \square\;,\;\square\;];
ii) y\in[\; \square\;,\;\square\;] (a segunda faixa geralmente será função de x, pois agora y é a variável interna).
b) Passar para coordenadas polares e, explorando simetria em x (ou seja, integrar “duas vezes” a metade), escrever os limites em polares:
i) \theta\in[\; \square\;,\;\square\;];
ii) r\in[\; \square\;,\;\square\;].
Informações relevantes extraídas das integrais iniciais (que vamos usar):
Para a primeira parcela (chamar de região R_1): y varia em \left[\sqrt{10},\dfrac{125}{\sqrt{14}}\right] e, para cada y aí, x satisfaz-\sqrt{-4+\tfrac{2y^{2}}{5}}\le x\le \sqrt{-4+\tfrac{2y^{2}}{5}}.Isso corresponde à condiçãox^{2} = -4+\tfrac{2}{5}y^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \tfrac{2}{5}y^{2}-x^{2}=4.
Para a segunda parcela (região R_2): y\in\left[\dfrac{25}{\sqrt{14}},10\right] e-\sqrt{16-\tfrac{4y^{2}}{25}}\le x\le \sqrt{16-\tfrac{4y^{2}}{25}}.Isso corresponde à curvax^{2}+\tfrac{4}{25}y^{2}=16.
Passo 2
Entender geometricamente as duas curvas e a região formada (aula curta e necessária).
A igualdade \tfrac{2}{5}y^{2}-x^{2}=4 é uma hipérbole centrada no eixo y (abre para cima/baixo), que pode ser rearranjada como
x^{2} = -4 + \tfrac{2}{5}y^{2}.
Para essa curva o domínio em y (onde o radicando é não-negativo) exige y^{2}\ge 10, daí o limite inferior \sqrt{10}.
Interpretação prática: para um dado y nessa faixa, os x possíveis são todos os valores com |x| até \sqrt{-4+\tfrac{2y^{2}}{5}}.
A igualdade x^{2}+\tfrac{4}{25}y^{2}=16 é uma elipse centrada na origem, com semieixo horizontal 4 e semieixo vertical \dfrac{25}{2}=12{,}5. Para essa elipse y^{2}\le 100, daí o limite superior em y igual a 10.
A região total R descrita pelo enunciado é a soma (adição das integrais) das porções de área sob essas duas curvas, nas respectivas faixas de y. Como os intervalos em y das duas parcelas se sobrepõem (note que \sqrt{10}\approx3{,}162, \dfrac{25}{\sqrt{14}}\approx6{,}684, 10), em algumas alturas y há contribuição de ambas as curvas (então as integrais somam as contribuições de f nesses subintervalos de x). Para reescrever como integral com x externo precisamos encontrar, para cada x, quais valores de y pertencem à região R.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção entre as curvas (fase técnica importante para os limites em [x) e para dividir intervalos).
Substituindo em (x{2}+\tfrac{4}{25}y{2}=16]: x^{2}=16-\tfrac{4}{25}\cdot \dfrac{250}{7}=16-\dfrac{1000}{175}=16-\dfrac{40}{7}=\dfrac{72}{7}.
Assim as curvas se intersectam nos pontos \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{72}{7}},\;\sqrt{\tfrac{250}{7}}\bigr).
Esses valores marcam a altura onde a hipérbole e a elipse se cruzam. Para y acima desse valor a hipérbole dá x-interval mais amplo; para y abaixo, a elipse dá o x-interval mais amplo (isto pode ser visualizado projetando as duas curvas).]
Passo 4
Determinar o intervalo total em x (limites exteriores quando x é a variável independente).
O maior valor absoluto de x na região R ocorre onde, ao longo de algum y permitido, |x| é máximo. Olhando as fórmulas dos limites em x para cada parcela:
Para R_1 (hipérbole), no limite superior em y=\dfrac{125}{\sqrt{14}} temos
Encontrar, para cada x fixo nessa faixa, os limites em y (a variável interna ao trocar a ordem: integrar em y depois em x). Vamos raciocinar por partes (duas faixas em x) porque a forma do intervalo em y muda quando cruzamos a abscissa onde as curvas se intersectam.
Para um x fixo, as condições que definem R são:
pertencer a R_1: existe y em \left[\sqrt{10},\dfrac{125}{\sqrt{14}}\right] tal que |x|\le \sqrt{-4+\tfrac{2y^{2}}{5}}. Isso é equivalente a
y\ge \sqrt{\tfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)}\quad\text{(e também }y\ge\sqrt{10}\text{),}
e y\le\dfrac{125}{\sqrt{14}}.
pertencer a R_2: existe y em \left[\dfrac{25}{\sqrt{14}},10\right] tal que |x|\le \sqrt{16-\tfrac{4y^{2}}{25}}. Isso equivale a
y\le \sqrt{\tfrac{25}{4}\,(16-x^{2})}\quad\text{(e também }y\ge\dfrac{25}{\sqrt{14}}\text{).}
A análise das interseções mostra que as duas curvas se cruzam na abscissa |x|=\sqrt{\tfrac{72}{7}}. Logo é natural dividir o intervalo de x em duas partes:
Para |x|\le \sqrt{\tfrac{72}{7}} (a parte central), o valor de y que pertence à região R fica entre a curva da hipérbole (limite inferior) e a curva da elipse (limite superior). Assim, para esses x,
(Verifique: em x=0 isso dá y\in[\sqrt{10},10], que combina as duas faixas.)
Para \sqrt{\tfrac{72}{7}}<|x|\le \sqrt{\tfrac{3097}{7}} (as “caudas” exteriores), a elipse já não alcança esse x (ou o valor de y permitido pela elipse fica fora da faixa dada), e a única contribuição vem da hipérbole com y variando de seu limite inferir até o teto máximo \dfrac{125}{\sqrt{14}}. Assim, para esses x,
Portanto, escrevendo a integral com x externo requer uma expressão com intervalo em x único (o maior), e o intervalo em y será definido por caso (peças), conforme acima. Esse é o padrão quando a região projetada no eixo x resulta em duas configurações diferentes para os cortes verticais.
Passo 6
Passagem para coordenadas polares (aula curta sobre a técnica) e encontrar os limites em \theta e r.
Em polares usamos as trocas habituais:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA = r\,dr\,d\theta.
Nota: essa curva só existe (no sentido de dar r>0) para ângulos \theta tais que \tfrac{2}{5}\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta>0. Isso dá um limite inferior em \theta, aproximadamente \theta>\arctan\sqrt{\tfrac{5}{2}}\approx1{,}005\\ \text{rad} (cerca de 57{,}6^\circ).
Essa expressão está bem definida para todo \theta.
O raio r da hipérbole e o raio r da elipse se igualam exatamente no ângulo correspondente ao ponto de interseção que encontramos antes. Calculemos o ângulo de interseção \theta_{0} usando as coordenadas do ponto de interseção:
Observações sobre ordenação radial (o que é menor/maior): para \theta entre \theta_{0} e \tfrac{\pi}{2} a hipérbole produz um r menor (limite interior) e a elipse um r maior (limite exterior). Para ângulos menores que \theta_{0} a hipérbole não está presente (ou daria r negativo), então a região só existe quando r está limitada pela elipse e por limites em y — mas lembrando que o enunciado original tem y>0 e usamos simetria em x (integramos a metade direita e multiplicamos por 2 ou usamos duas vezes simetria), a opção mais econômica é trabalhar no primeiro quadrante entre \theta_{0} e \tfrac{\pi}{2} e depois multiplicar por 2 (ou usar a simetria em x para contar as duas metades esquerda/direita).
Portanto, usando simetria (integrar a região do lado direito e multiplicar por 2, ou dizer “usar simetria em duas vezes”), os limites naturais em \theta e r para essa metade são