I=\int_{\sqrt{10}}^{\frac{25 \frac{3}{2}}{\sqrt{14}}} \int_{-\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}}^{\sqrt{-4+\frac{2 y^{2}}{5}}} f(x, y) d x d y+\int_{\frac{25}{\sqrt{14}}}^{10} \int_{-\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}}^{\sqrt{16-\frac{4 y^{2}}{25}}} f(x, y) d x d y, para responder aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, a expressão \boldsymbol{I} pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
i) x \in[ □ , □ ].
ii) y \in[ □ , □ ].
b) Transformando a expressão I para coordenadas polares, I também pode ser escrita como uma única integral dupla. Usando simetria em duas vezes, os limitantes de integração em coordenadas polares são
i) \theta \in[ □ , □ ].
ii) r \in[ □ ,
□ ].

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • São dadas duas integrais em y que somam:
I=\int_{\sqrt{10}}^{\frac{125}{\sqrt{14}}}\int_{-\sqrt{-4+\tfrac{2y^{2}}{5}}}^{\sqrt{-4+\tfrac{2y^{2}}{5}}} f(x,y)\,dx\,dy +\int_{\frac{25}{\sqrt{14}}}^{10}\int_{-\sqrt{16-\tfrac{4y^{2}}{25}}}^{\sqrt{16-\tfrac{4y^{2}}{25}}} f(x,y)\,dx\,dy.
(Observação: interpretou-se \frac{25 \frac{3}{2}}{\sqrt{14}} como \dfrac{125}{\sqrt{14}}.)
  • Perguntas:
    a) Reescrever I tomando x como variável “externa” (ou seja, trocar a ordem de integração): isso pede os limites para
    i) x\in[\; \square\;,\;\square\;];
    ii) y\in[\; \square\;,\;\square\;] (a segunda faixa geralmente será função de x, pois agora y é a variável interna).
    b) Passar para coordenadas polares e, explorando simetria em x (ou seja, integrar “duas vezes” a metade), escrever os limites em polares:
    i) \theta\in[\; \square\;,\;\square\;];
    ii) r\in[\; \square\;,\;\square\;].
  • Informações relevantes extraídas das integrais iniciais (que vamos usar):
    • Para a primeira parcela (chamar de região R_1): y varia em \left[\sqrt{10},\dfrac{125}{\sqrt{14}}\right] e, para cada y aí, x satisfaz -\sqrt{-4+\tfrac{2y^{2}}{5}}\le x\le \sqrt{-4+\tfrac{2y^{2}}{5}}.Isso corresponde à condição x^{2} = -4+\tfrac{2}{5}y^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \tfrac{2}{5}y^{2}-x^{2}=4.
    • Para a segunda parcela (região R_2): y\in\left[\dfrac{25}{\sqrt{14}},10\right] e -\sqrt{16-\tfrac{4y^{2}}{25}}\le x\le \sqrt{16-\tfrac{4y^{2}}{25}}.Isso corresponde à curva x^{2}+\tfrac{4}{25}y^{2}=16.

Passo 2

Entender geometricamente as duas curvas e a região formada (aula curta e necessária).
  • A igualdade \tfrac{2}{5}y^{2}-x^{2}=4 é uma hipérbole centrada no eixo y (abre para cima/baixo), que pode ser rearranjada como
    x^{2} = -4 + \tfrac{2}{5}y^{2}.
    Para essa curva o domínio em y (onde o radicando é não-negativo) exige y^{2}\ge 10, daí o limite inferior \sqrt{10}.
    Interpretação prática: para um dado y nessa faixa, os x possíveis são todos os valores com |x| até \sqrt{-4+\tfrac{2y^{2}}{5}}.
  • A igualdade x^{2}+\tfrac{4}{25}y^{2}=16 é uma elipse centrada na origem, com semieixo horizontal 4 e semieixo vertical \dfrac{25}{2}=12{,}5. Para essa elipse y^{2}\le 100, daí o limite superior em y igual a 10.
  • A região total R descrita pelo enunciado é a soma (adição das integrais) das porções de área sob essas duas curvas, nas respectivas faixas de y. Como os intervalos em y das duas parcelas se sobrepõem (note que \sqrt{10}\approx3{,}162, \dfrac{25}{\sqrt{14}}\approx6{,}684, 10), em algumas alturas y há contribuição de ambas as curvas (então as integrais somam as contribuições de f nesses subintervalos de x). Para reescrever como integral com x externo precisamos encontrar, para cada x, quais valores de y pertencem à região R.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas (fase técnica importante para os limites em [x) e para dividir intervalos).
  • Resolver simultaneamente
    \begin{cases} \tfrac{2}{5}y^{2}-x^{2}=4,\\[4pt] x^{2}+\tfrac{4}{25}y^{2}=16. \end{cases}
    Soma das duas equações:
    \tfrac{2}{5}y^{2}+\tfrac{4}{25}y^{2}=20 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{14}{25}y^{2}=20 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}=\dfrac{20\cdot25}{14}=\dfrac{500}{14}=\dfrac{250}{7}.
    Logo
    y=\sqrt{\dfrac{250}{7}}.
    Substituindo em (x{2}+\tfrac{4}{25}y{2}=16]:
    x^{2}=16-\tfrac{4}{25}\cdot \dfrac{250}{7}=16-\dfrac{1000}{175}=16-\dfrac{40}{7}=\dfrac{72}{7}.
    Assim as curvas se intersectam nos pontos
    \bigl(\pm\sqrt{\tfrac{72}{7}},\;\sqrt{\tfrac{250}{7}}\bigr).
  • Observações numéricas rápidas (para intuição):
    \sqrt{\tfrac{72}{7}}\approx3{,}207,\qquad \sqrt{\tfrac{250}{7}}\approx5{,}976.
    Esses valores marcam a altura onde a hipérbole e a elipse se cruzam. Para y acima desse valor a hipérbole dá x-interval mais amplo; para y abaixo, a elipse dá o x-interval mais amplo (isto pode ser visualizado projetando as duas curvas).]

Passo 4

Determinar o intervalo total em x (limites exteriores quando x é a variável independente).
  • O maior valor absoluto de x na região R ocorre onde, ao longo de algum y permitido, |x| é máximo. Olhando as fórmulas dos limites em x para cada parcela:
    • Para R_1 (hipérbole), no limite superior em y=\dfrac{125}{\sqrt{14}} temos
      x^{2}_{\max,\,R_1}=-4+\tfrac{2}{5}\left(\dfrac{125}{\sqrt{14}}\right)^{\!2}.
      Calculemos exatamente:
      \left(\dfrac{125}{\sqrt{14}}\right)^{2}=\dfrac{15625}{14}, \quad \tfrac{2}{5}\cdot \dfrac{15625}{14}=\dfrac{31250}{70}=\dfrac{3125}{7}.
      Então
      x^{2}_{\max,\,R_1}=-4+\dfrac{3125}{7}=\dfrac{3125-28}{7}=\dfrac{3097}{7}.
      Portanto o extremo em x vindo da hipérbole é \pm\sqrt{\dfrac{3097}{7}}.
    • Para R_2 (elipse) o máximo absoluto de x é 4 (quando y=0), mas y na segunda parcela só vai até 10, então o elipse contribui com |x|\le 4.
  • Conclusão: o intervalo em x que contém toda a região R é
    x\in\left[-\sqrt{\dfrac{3097}{7}},\;\sqrt{\dfrac{3097}{7}}\right].

Passo 5

Encontrar, para cada x fixo nessa faixa, os limites em y (a variável interna ao trocar a ordem: integrar em y depois em x). Vamos raciocinar por partes (duas faixas em x) porque a forma do intervalo em y muda quando cruzamos a abscissa onde as curvas se intersectam.
  • Para um x fixo, as condições que definem R são:
    • pertencer a R_1: existe y em \left[\sqrt{10},\dfrac{125}{\sqrt{14}}\right] tal que |x|\le \sqrt{-4+\tfrac{2y^{2}}{5}}. Isso é equivalente a
      y\ge \sqrt{\tfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)}\quad\text{(e também }y\ge\sqrt{10}\text{),}é
      e y\le\dfrac{125}{\sqrt{14}}.
    • pertencer a R_2: existe y em \left[\dfrac{25}{\sqrt{14}},10\right] tal que |x|\le \sqrt{16-\tfrac{4y^{2}}{25}}. Isso equivale a
      y\le \sqrt{\tfrac{25}{4}\,(16-x^{2})}\quad\text{(e também }y\ge\dfrac{25}{\sqrt{14}}\text{).}é
  • A análise das interseções mostra que as duas curvas se cruzam na abscissa |x|=\sqrt{\tfrac{72}{7}}. Logo é natural dividir o intervalo de x em duas partes:
    1. Para |x|\le \sqrt{\tfrac{72}{7}} (a parte central), o valor de y que pertence à região R fica entre a curva da hipérbole (limite inferior) e a curva da elipse (limite superior). Assim, para esses x,
      y\in\left[\sqrt{\tfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)},\;\sqrt{\tfrac{25}{4}\,(16-x^{2})}\right].
      (Verifique: em x=0 isso dá y\in[\sqrt{10},10], que combina as duas faixas.)
    2. Para \sqrt{\tfrac{72}{7}}<|x|\le \sqrt{\tfrac{3097}{7}} (as “caudas” exteriores), a elipse já não alcança esse x (ou o valor de y permitido pela elipse fica fora da faixa dada), e a única contribuição vem da hipérbole com y variando de seu limite inferir até o teto máximo \dfrac{125}{\sqrt{14}}. Assim, para esses x,
      y\in\left[\sqrt{\tfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)},\;\dfrac{125}{\sqrt{14}}\right].
  • Portanto, escrevendo a integral com x externo requer uma expressão com intervalo em x único (o maior), e o intervalo em y será definido por caso (peças), conforme acima. Esse é o padrão quando a região projetada no eixo x resulta em duas configurações diferentes para os cortes verticais.

Passo 6

Passagem para coordenadas polares (aula curta sobre a técnica) e encontrar os limites em \theta e r.
  • Em polares usamos as trocas habituais:
    x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dA = r\,dr\,d\theta.
  • Escrever as curvas em polares:
    1. Hipérbole: \tfrac{2}{5}y^{2}-x^{2}=4 substituindo:
      \tfrac{2}{5}r^{2}\sin^{2}\theta - r^{2}\cos^{2}\theta =4 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\!\left(\tfrac{2}{5}\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta\right)=4.
      Portanto (quando o parêntese for positivo)
      r=\dfrac{2}{\sqrt{\tfrac{2}{5}\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}}.
      Nota: essa curva só existe (no sentido de dar r>0) para ângulos \theta tais que \tfrac{2}{5}\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta>0. Isso dá um limite inferior em \theta, aproximadamente \theta>\arctan\sqrt{\tfrac{5}{2}}\approx1{,}005\\ \text{rad} (cerca de 57{,}6^\circ).
    2. Elipse: x^{2}+\tfrac{4}{25}y^{2}=16
      r^{2}\!\left(\cos^{2}\theta+\tfrac{4}{25}\sin^{2}\theta\right)=16 \quad\Longrightarrow\quad r=\dfrac{4}{\sqrt{\cos^{2}\theta+\tfrac{4}{25}\sin^{2}\theta}}.
      Essa expressão está bem definida para todo \theta.
  • O raio r da hipérbole e o raio r da elipse se igualam exatamente no ângulo correspondente ao ponto de interseção que encontramos antes. Calculemos o ângulo de interseção \theta_{0} usando as coordenadas do ponto de interseção:
    \tan\theta_{0}=\dfrac{y}{x}=\sqrt{\dfrac{250/7}{72/7}}=\sqrt{\dfrac{250}{72}}=\sqrt{\dfrac{125}{36}}=\dfrac{5\sqrt{5}}{6}.
    Assim
    \theta_{0}=\arctan\!\left(\dfrac{5\sqrt{5}}{6}\right)\approx 1{,}077\\ \text{rad}\\ (\approx61{,}7^\circ).
  • Observações sobre ordenação radial (o que é menor/maior): para \theta entre \theta_{0} e \tfrac{\pi}{2} a hipérbole produz um r menor (limite interior) e a elipse um r maior (limite exterior). Para ângulos menores que \theta_{0} a hipérbole não está presente (ou daria r negativo), então a região só existe quando r está limitada pela elipse e por limites em y — mas lembrando que o enunciado original tem y>0 e usamos simetria em x (integramos a metade direita e multiplicamos por 2 ou usamos duas vezes simetria), a opção mais econômica é trabalhar no primeiro quadrante entre \theta_{0} e \tfrac{\pi}{2} e depois multiplicar por 2 (ou usar a simetria em x para contar as duas metades esquerda/direita).
  • Portanto, usando simetria (integrar a região do lado direito e multiplicar por 2, ou dizer “usar simetria em duas vezes”), os limites naturais em \theta e r para essa metade são
    \theta\in\left[\theta_{0},\;\tfrac{\pi}{2}\right],\qquad r\in\left[\dfrac{2}{\sqrt{\tfrac{2}{5}\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}},\;\dfrac{4}{\sqrt{\cos^{2}\theta+\tfrac{4}{25}\sin^{2}\theta}}\right].
    E a integral total I será 2 vezes a integral sobre essa metade (por simetria em x).

Passo 7

Síntese final — fórmulas prontas para colar na prova.
  • Para a parte (a) (trocar a ordem, [x) externo): escrevemos o intervalo total em x e os limites em y por casos conforme a análise do Passo 5:
    i) limite em x:
    x\in\left[-\sqrt{\dfrac{3097}{7}},\;\sqrt{\dfrac{3097}{7}}\right].
    ii) limites em y (interno), em função de x — com duas faixas de x:
    y\in \begin{cases} \displaystyle \left[\sqrt{\tfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)},\;\sqrt{\tfrac{25}{4}\,(16-x^{2})}\right], & \text{se }|x|\le\sqrt{\tfrac{72}{7}},\\[8pt] \displaystyle \left[\sqrt{\tfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)},\;\dfrac{125}{\sqrt{14}}\right], & \text{se }\sqrt{\tfrac{72}{7}}<|x|\le\sqrt{\tfrac{3097}{7}}. \end{cases}
  • Para a parte (b) (coordenadas polares, usando simetria em duas vezes):
    i) ângulo:
    \theta\in\left[\arctan\!\left(\dfrac{5\sqrt{5}}{6}\right),\;\dfrac{\pi}{2}\right].
    ii) raio (limites radiais correspondentes às curvas hipérbole e elipse, respectivamente):
    r\in\left[\dfrac{2}{\sqrt{\tfrac{2}{5}\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}},\; \dfrac{4}{\sqrt{\cos^{2}\theta+\tfrac{4}{25}\sin^{2}\theta}}\right].
    (A integral total I\] é \(2 vezes a integral sobre esse setor, por simetria em x.)]

Resposta

a.i) [x\in\left[-\sqrt{\dfrac{3097}{7}},;\sqrt{\dfrac{3097}{7}}\right])
a.ii)
y\in \begin{cases} \displaystyle \left[\sqrt{\tfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)},\;\sqrt{\tfrac{25}{4}\,(16-x^{2})}\right], & \text{se }|x|\le\sqrt{\tfrac{72}{7}},\\[8pt] \displaystyle \left[\sqrt{\tfrac{5}{2}\,(x^{2}+4)},\;\dfrac{125}{\sqrt{14}}\right], & \text{se }\sqrt{\tfrac{72}{7}}<|x|\le\sqrt{\tfrac{3097}{7}}. \end{cases}
b.i) (\theta\in\displaystyle\left[\arctan!\left(\dfrac{5\sqrt{5}}{6}\right),;\dfrac{\pi}{2}\right]]
b.ii) r\in\left[\dfrac{2}{\sqrt{\tfrac{2}{5}\sin^{2}\theta-\cos^{2}\theta}},\;\dfrac{4}{\sqrt{\cos^{2}\theta+\tfrac{4}{25}\sin^{2}\theta}}\right]]

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