Para resolver a integral dupla
, convém utilizar coordenadas polares.
Ao transformar
para polares, obtém-se uma única integral dupla cujos limitantes de integração são:
Além disso, após transformar o integrando, juntamente com o diferencial de área, obtém-se que
Por fim, resolvendo a integral obtida em polares, encontra-se que o valor numérico de
é dado por
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
As perguntas implícitas que vamos responder são:
- Quais são os limites em coordenadas polares para
e para ? - Qual é a expressão do integrando junto com o diferencial de área em coordenadas polares?
- Qual é o valor numérico de
?
Informações relevantes dadas:
- A região de integração é
. - O integrando é
.
Passo 2
Identificar geometricamente a região de integração (sem resolver ainda). A condição
é equivalente a
e
. Juntando com
, a região é o quarto de círculo de raio
no primeiro quadrante (ou seja, todo o setor do círculo de raio
com
e
).
Passo 3
Apresentar a mudança para coordenadas polares e o diferencial de área, com explicação didática.
- Em coordenadas polares usamos as transformações
onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
- O diferencial de área em coordenadas polares não é
simples: a pequena área correspondente a variações e tem área aproximada . Isto aparece formalmente como o jacobiano da transformação e significa que
- Também observe que
. Isso simplifica muito o integrando.
Passo 4
Determinar os limites em polares usando a descrição da região (passo 2).
- Como estamos no primeiro quadrante com
e , o ângulo varia de
- A fronteira radial é o círculo
, isto é , portanto
Logo os limites são
e
.
Passo 5
Transformar o integrando e o diferencial de área explicitamente.
- Temos
e . - Substituindo na expressão original:
Passo 6
Montar a integral em coordenadas polares com os limites encontrados:
Passo 7
Calcular a integral em
passo a passo.
- Primeiro calcule
. - Use a primitivação básica
. Então
- Calcule
e . Portanto
Passo 8
Calcular a integral em
.
- Agora
. - Integrando uma constante em
dá multiplicação pela largura do intervalo:
- Simplificando
, obtemos
Passo 9
Resumo final das substituições pedidas no enunciado:
-
. -
. -
. - Valor numérico da integral:
.