Para resolver a integral dupla I=\int_{0}^{9} \int_{0}^{\sqrt{81-x^{2}}} 30 \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x, convém utilizar coordenadas polares.
Ao transformar I para polares, obtém-se uma única integral dupla cujos limitantes de integração são:
\begin{aligned} & \boldsymbol{\theta} \in[0, \square] \\\ & r \in[0, \square] \end{aligned}
Além disso, após transformar o integrando, juntamente com o diferencial de área, obtém-se que
30 \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x=\square d r d \theta
Por fim, resolvendo a integral obtida em polares, encontra-se que o valor numérico de I é dado por
I=\square

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
I=\int_{0}^{9}\int_{0}^{\sqrt{81-x^{2}}}30\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx.
As perguntas implícitas que vamos responder são:
  • Quais são os limites em coordenadas polares para \theta e para r?
  • Qual é a expressão do integrando junto com o diferencial de área em coordenadas polares?
  • Qual é o valor numérico de I?
Informações relevantes dadas:
  • A região de integração é \{(x,y):0\le x\le 9,\;0\le y\le\sqrt{81-x^{2}}\}.
  • O integrando é 30\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Identificar geometricamente a região de integração (sem resolver ainda). A condição 0\le y\le\sqrt{81-x^{2}} é equivalente a y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le81. Juntando com 0\le x\le9, a região é o quarto de círculo de raio 9 no primeiro quadrante (ou seja, todo o setor do círculo de raio 9 com x\ge0 e y\ge0).

Passo 3

Apresentar a mudança para coordenadas polares e o diferencial de área, com explicação didática.
  • Em coordenadas polares usamos as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • O diferencial de área em coordenadas polares não é dr\,d\theta simples: a pequena área correspondente a variações dr e d\theta tem área aproximada r\,dr\,d\theta. Isto aparece formalmente como o jacobiano da transformação e significa que
dy\,dx = r\,dr\,d\theta.
  • Também observe que \sqrt{x^{2}+y^{2}} = r. Isso simplifica muito o integrando.

Passo 4

Determinar os limites em polares usando a descrição da região (passo 2).
  • Como estamos no primeiro quadrante com x\ge0 e y\ge0, o ângulo varia de
\theta\in[0,\pi/2].
  • A fronteira radial é o círculo x^{2}+y^{2}=81, isto é r^{2}=81, portanto
r\in[0,9].
Logo os limites são \theta\in[0,\pi/2] e r\in[0,9].

Passo 5

Transformar o integrando e o diferencial de área explicitamente.
  • Temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e dy\,dx=r\,dr\,d\theta.
  • Substituindo na expressão original:
30\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx = 30\cdot r \cdot (r\,dr\,d\theta) = 30\,r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Montar a integral em coordenadas polares com os limites encontrados:
I=\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{9}30\,r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em r passo a passo.
  • Primeiro calcule \displaystyle\int_{0}^{9}30\,r^{2}\,dr.
  • Use a primitivação básica \displaystyle\int r^{2}\,dr=\frac{r^{3}}{3}. Então
\int_{0}^{9}30\,r^{2}\,dr = 30\cdot\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{9} =30\cdot\frac{9^{3}}{3}.
  • Calcule 9^{3}=729 e \dfrac{729}{3}=243. Portanto
\int_{0}^{9}30\,r^{2}\,dr = 30\cdot243 = 7290.

Passo 8

Calcular a integral em \theta.
  • Agora \displaystyle I=\int_{0}^{\pi/2}7290\,d\theta.
  • Integrando uma constante em \theta dá multiplicação pela largura do intervalo:
I = 7290\cdot\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = 7290\cdot\frac{\pi}{2}.
  • Simplificando 7290/2=3645, obtemos
I = 3645\pi.

Passo 9

Resumo final das substituições pedidas no enunciado:
  • \theta\in[0,\pi/2].
  • r\in[0,9].
  • 30\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx = 30\,r^{2}\,dr\,d\theta.
  • Valor numérico da integral: I=3645\pi.

Resposta

I=3645\pi

Exercícios relacionados