I=\int_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}} \int_{\frac{13 x 2}{2}}^{10-10 x^{2}} 65 x e^{y} d y d x
calcule o valor dessa integral, informe sua resposta em formato numérico, deixando indicado o valor da(s) exponencial(is) obtida(s).

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
I=\int_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}}\int_{\frac{13x^{2}}{2}}^{10-10x^{2}}65x e^{y}\,dy\,dx
(eu interpretei o limite inferior como \dfrac{13x^{2}}{2}, que é compatível com o limite externo).
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral, deixando indicados os valores das exponenciais obtidas.
Informações relevantes:
  • variável externa: x\in\left[0,\sqrt{\dfrac{20}{33}}\right];
  • variável interna: y\in\left[\dfrac{13x^{2}}{2},\,10-10x^{2}\right];
  • integrando: 65x e^{y}.

Passo 2

Primeira ideia prática: calcular a integral interna em y primeiro. Para isso uso que a primitiva de e^{y} em relação a y é e^{y}. Como o integrando é 65x e^{y} e x é constante em relação a y, tenho
\int_{\frac{13x^{2}}{2}}^{10-10x^{2}}65x e^{y}\,dy =65x\left[e^{y}\right]_{y=\frac{13x^{2}}{2}}^{y=10-10x^{2}} =65x\left(e^{\,10-10x^{2}}-e^{\tfrac{13}{2}x^{2}}\right).

Passo 3

Agora a integral fica
I=\int_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}}65x\left(e^{\,10-10x^{2}}-e^{\tfrac{13}{2}x^{2}}\right)\,dx.
Separto em duas integrais:
I=65\int_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}}x e^{\,10-10x^{2}}\,dx -65\int_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}}x e^{\tfrac{13}{2}x^{2}}\,dx.

Passo 4

Explico como integrar termos do tipo \int x e^{k x^{2}}\,dx. Fazendo a substituição u=x^{2} tem-se du=2x\,dx, ou seja x\,dx=\dfrac{1}{2}du. Então
\int x e^{k x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{k u}\,du=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k}e^{k u}+\!C=\frac{1}{2k}e^{k x^{2}}+\!C.
Isso vale para qualquer constante k\neq0. Vou aplicar com k=-10 para a primeira integral e com k=\tfrac{13}{2} para a segunda.

Passo 5

Avalio cada integral usando a fórmula:
  • Para a primeira (com k=-10):
\int_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}}x e^{-10x^{2}}\,dx=\left[\frac{1}{2(-10)}e^{-10x^{2}}\right]_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}} =\frac{1}{-20}\left(e^{-10\cdot\frac{20}{33}}-1\right) =\frac{1}{20}\left(1-e^{-\frac{200}{33}}\right).
Multiplicando por 65e^{10} (porque e^{10-10x^{2}}=e^{10}e^{-10x^{2}}) obtém-se
65\int_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}}x e^{\,10-10x^{2}}\,dx =65e^{10}\cdot\frac{1}{20}\left(1-e^{-\frac{200}{33}}\right).
  • Para a segunda (com k=\tfrac{13}{2}):
\int_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}}x e^{\tfrac{13}{2}x^{2}}\,dx =\left[\frac{1}{2\cdot\frac{13}{2}}e^{\tfrac{13}{2}x^{2}}\right]_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}} =\frac{1}{13}\left(e^{\tfrac{13}{2}\cdot\frac{20}{33}}-1\right) =\frac{1}{13}\left(e^{\tfrac{130}{33}}-1\right).
Multiplicando por 65
65\int_{0}^{\sqrt{\frac{20}{33}}}x e^{\tfrac{13}{2}x^{2}}\,dx =65\cdot\frac{1}{13}\left(e^{\tfrac{130}{33}}-1\right)=5\left(e^{\tfrac{130}{33}}-1\right).

Passo 6

Agora simplifico e combino os termos. Primeiro note que
65e^{10}\cdot\frac{1}{20}=\frac{65}{20}e^{10}=\frac{13}{4}e^{10}, \qquad 65e^{10}\cdot\frac{1}{20}e^{-\frac{200}{33}}=\frac{13}{4}e^{10}e^{-\frac{200}{33}}=\frac{13}{4}e^{\frac{130}{33}},
pois 10-\frac{200}{33}=\frac{330-200}{33}=\frac{130}{33}. Assim a primeira contribuição é
\frac{13}{4}e^{10}-\frac{13}{4}e^{\tfrac{130}{33}}.
Subtraindo a segunda contribuição 5\left(e^{\tfrac{130}{33}}-1\right)=5e^{\tfrac{130}{33}}-5 obtemos
I=\left(\frac{13}{4}e^{10}-\frac{13}{4}e^{\tfrac{130}{33}}\right)-\left(5e^{\tfrac{130}{33}}-5\right).
Agrupando os termos com e^{\tfrac{130}{33}}:
-\frac{13}{4}e^{\tfrac{130}{33}}-5e^{\tfrac{130}{33}}=-\left(\frac{13}{4}+5\right)e^{\tfrac{130}{33}} =-\frac{33}{4}e^{\tfrac{130}{33}}.
Portanto
I=\frac{13}{4}e^{10}-\frac{33}{4}e^{\tfrac{130}{33}}+5.

Resposta

\displaystyle I=\frac{13}{4}e^{10}-\frac{33}{4}e^{\tfrac{130}{33}}+5

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