Considere a integral dupla
,
em que
é a região situada no primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências
e
.
Após escrever
em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, da forma
. Supondo que os limitantes de integração de
na integral dupla
são menores ou iguais do que os limitantes de integração de
na integral dupla
, tem-se que:
a primeira integral dupla é
em que
a) Tomando
a primeira integral dupla é
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- O integrando é
. - A região
é a parte no primeiro quadrante que é interior simultaneamente às circunferências e - “Interior às circunferências” significa que, em
, valem as desigualdades - O enunciado pede: escreva
em coordenadas cartesianas nas duas ordens de integração.
Depois, no caso em que tomamoscomo variável independente (ou seja, é a variável do integral externo), devemos escrever como soma de duas integrais . Foi feita a suposição adicional de que os limitantes em de são menores ou iguais aos de . O item (a) pede então escrever explicitamente qual é a primeira integral dupla .
Passo 2
Entender a geometria das duas curvas e encontrar o ponto de interseção que determina a divisão em
.
-
Reescrevendo a segunda circunferência em forma centrada:ou seja, é uma circunferência de centro
e raio . -
A primeira circunferência é a de centro
e raio . -
Para determinar onde as duas fronteiras se cruzam, igualamos as equações:Subtraindo, obtém-seSubstituindo em
obtemos portanto, no primeiro quadrante o ponto de interseção é
Passo 3
Decidir para um
fixo quais são os limites em
. Isso mostra por que é preciso dividir em duas integrais quando
é variável externa.
-
Em
(primeiro quadrante) temos e, para um fixo, deve satisfazer simultaneamente Ou seja, -
Compare as duas expressões dentro da raiz:A diferença éque muda de sinal exatamente em
. Assim: - Para
temos , logo . Portanto o limite superior em é . - Para
temos , logo . Portanto o limite superior em é .
- Para
-
O suporte em
para pontos do primeiro quadrante que satisfazem ambas as desigualdades vai de até . Por isso é natural dividir a integral em duas partes com divisão em .
Passo 4
Escrever explicitamente a primeira integral dupla
correspondente à faixa de
menor (a que tem os limitantes de
menores), conforme a suposição do enunciado.
- Na faixa
temos variando de até . Assim a primeira integral dupla é