Considere a integral dupla I=\int_{D} \int x y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{5} d A,
em que D é a região situada no primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências x^{2}+y^{2}=13 e x^{2}+y^{2}=12 x.
Após escrever \boldsymbol{I} em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, \boldsymbol{I} deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, da forma I=I_{1}+I_{2}. Supondo que os limitantes de integração de \boldsymbol{x} na integral dupla I_{1} são menores ou iguais do que os limitantes de integração de \boldsymbol{x} na integral dupla I_{2}, tem-se que:
a primeira integral dupla é

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • O integrando é \;x\,y\,(x^{2}+y^{2})^{5}\;.
  • A região D é a parte no primeiro quadrante que é interior simultaneamente às circunferências x^{2}+y^{2}=13e x^{2}+y^{2}=12x.
  • “Interior às circunferências” significa que, em D, valem as desigualdades x^{2}+y^{2}\le 13 \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}\le 12x.
  • O enunciado pede: escreva I=\iint_{D} x y (x^{2}+y^{2})^{5}\,dA em coordenadas cartesianas nas duas ordens de integração.
    Depois, no caso em que tomamos x como variável independente (ou seja, x é a variável do integral externo), devemos escrever I como soma de duas integrais I=I_{1}+I_{2}. Foi feita a suposição adicional de que os limitantes em x de I_{1} são menores ou iguais aos de I_{2}. O item (a) pede então escrever explicitamente qual é a primeira integral dupla I_{1}.

Passo 2

Entender a geometria das duas curvas e encontrar o ponto de interseção que determina a divisão em x.
  • Reescrevendo a segunda circunferência em forma centrada:
    x^{2}+y^{2}=12x \quad\Leftrightarrow\quad x^{2}-12x+y^{2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad (x-6)^{2}+y^{2}=36,
    ou seja, é uma circunferência de centro (6,0) e raio 6.
  • A primeira circunferência é a de centro (0,0) e raio \sqrt{13}.
  • Para determinar onde as duas fronteiras se cruzam, igualamos as equações:
    x^{2}+y^{2}=13 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}=12x.
    Subtraindo, obtém-se
    13 = 12x \quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{13}{12}.
    Substituindo em x^{2}+y^{2}=13 obtemos
    y^{2}=13-\Bigl(\dfrac{13}{12}\Bigr)^{2}=\dfrac{1703}{144},
    portanto, no primeiro quadrante o ponto de interseção é
    \Bigl(\dfrac{13}{12},\;\dfrac{\sqrt{1703}}{12}\Bigr).

Passo 3

Decidir para um x fixo quais são os limites em y. Isso mostra por que é preciso dividir em duas integrais quando x é variável externa.
  • Em D (primeiro quadrante) temos y\ge 0 e, para um x fixo, y deve satisfazer simultaneamente
    y^{2}\le 13-x^{2} \qquad\text{e}\qquad y^{2}\le 12x-x^{2}.
    Ou seja,
    0\le y \le \sqrt{\min\{\,13-x^{2},\;12x-x^{2}\,\}}.
  • Compare as duas expressões dentro da raiz:
    13-x^{2}\quad\text{versus}\quad 12x-x^{2}.
    A diferença é
    (13-x^{2})-(12x-x^{2})=13-12x,
    que muda de sinal exatamente em x=\dfrac{13}{12}. Assim:
    • Para 0\le x\le \dfrac{13}{12} temos 12x\le 13, logo 12x-x^{2}\le 13-x^{2}. Portanto o limite superior em y é \sqrt{12x-x^{2}}.
    • Para \dfrac{13}{12}\le x\le \sqrt{13} temos 12x\ge 13, logo 13-x^{2}\le 12x-x^{2}. Portanto o limite superior em y é \sqrt{13-x^{2}}.
  • O suporte em x para pontos do primeiro quadrante que satisfazem ambas as desigualdades vai de x=0 até x=\sqrt{13}. Por isso é natural dividir a integral em duas partes com divisão em x=\dfrac{13}{12}.

Passo 4

Escrever explicitamente a primeira integral dupla I_{1} correspondente à faixa de x menor (a que tem os limitantes de x menores), conforme a suposição do enunciado.
  • Na faixa 0\le x\le \dfrac{13}{12} temos y variando de 0 até \sqrt{12x-x^{2}}. Assim a primeira integral dupla é I_{1}=\int_{x=0}^{\tfrac{13}{12}}\;\int_{y=0}^{\sqrt{12x-x^{2}}} x\,y\,(x^{2}+y^{2})^{5}\;dy\;dx.

Resposta

I_{1}=\int_{0}^{\tfrac{13}{12}}\int_{0}^{\sqrt{12x-x^{2}}} x\,y\,(x^{2}+y^{2})^{5}\,dy\,dx

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