Determinar
para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função em
e pede para determinar
(a função no domínio do tempo) cuja transformada corresponde a
. As informações relevantes são:
- A constante
aparece na expressão. - O denominador é
. - Quer-se a função
para (normalmente ).
Passo 2
Vamos lembrar algumas transformadas inversas básicas e por que elas são úteis. Três fórmulas padrão da transformada de Laplace (e suas inversas) são:
Aqui
é uma constante real positiva e
é a variável complexa da transformada. A propriedade de linearidade diz que a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas, e constantes saem fora da transformada inversa. Essas regras permitem inverter
termo a termo depois de escrever
em termos de frações simples envolvendo
e
.
Passo 3
Para facilitar a inversão, vamos decompor
numa combinação de termos do tipo
e
. Considere
mais adiante; por enquanto trabalhe com
genérico e depois substituímos.
Mostra-se a identidade
Verificação rápida (multiplicando o lado direito pelo denominador comum):
Passo 4
Agora aplique isso ao
. Escreva
como uma constante vezes a identidade acima com
:
Usando a identidade com
,
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2 e a linearidade:
Portanto
Uma observação prática: em
temos
, então
, que bate com a propriedade da transformada dada (componente de pólo em
e pólo em
).