Determinar f(t) para as seguintes funções:
F(s)=\frac{6 \pi^{5}}{s\left(s^{2}+\pi^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função em s
F(s)=\frac{6 \pi^{5}}{s\left(s^{2}+\pi^{2}\right)}
e pede para determinar f(t) (a função no domínio do tempo) cuja transformada corresponde a F(s). As informações relevantes são:
  • A constante \pi aparece na expressão.
  • O denominador é s\left(s^{2}+\pi^{2}\right).
  • Quer-se a função f(t) para t (normalmente t\ge0).

Passo 2

Vamos lembrar algumas transformadas inversas básicas e por que elas são úteis. Três fórmulas padrão da transformada de Laplace (e suas inversas) são:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui a é uma constante real positiva e s é a variável complexa da transformada. A propriedade de linearidade diz que a transformada inversa de uma soma é a soma das transformadas inversas, e constantes saem fora da transformada inversa. Essas regras permitem inverter F(s) termo a termo depois de escrever F(s) em termos de frações simples envolvendo 1/s e s/(s^{2}+a^{2}).

Passo 3

Para facilitar a inversão, vamos decompor \dfrac{1}{s(s^{2}+a^{2})} numa combinação de termos do tipo 1/s e s/(s^{2}+a^{2}). Considere a=\pi mais adiante; por enquanto trabalhe com a genérico e depois substituímos.
Mostra-se a identidade
\frac{1}{s(s^{2}+a^{2})}=\frac{1}{a^{2}}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right).
Verificação rápida (multiplicando o lado direito pelo denominador comum):
\frac{1}{a^{2}}\left(\frac{s^{2}+a^{2}-s^{2}}{s(s^{2}+a^{2})}\right) =\frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{a^{2}}{s(s^{2}+a^{2})} =\frac{1}{s(s^{2}+a^{2})}.

Passo 4

Agora aplique isso ao F(s). Escreva F(s) como uma constante vezes a identidade acima com a=\pi:
F(s)=\frac{6\pi^{5}}{s(s^{2}+\pi^{2})}.
Usando a identidade com a=\pi,
\frac{1}{s(s^{2}+\pi^{2})}=\frac{1}{\pi^{2}}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+\pi^{2}}\right).
Multiplicando por 6\pi^{5} obtemos
F(s)=6\pi^{5}\cdot\frac{1}{\pi^{2}}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+\pi^{2}}\right) =6\pi^{3}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+\pi^{2}}\right).

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando as fórmulas do Passo 2 e a linearidade:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+\pi^{2}}\right\}=\cos(\pi t).
Portanto
f(t)=6\pi^{3}\Big(1-\cos(\pi t)\Big),\qquad t\ge0.
Uma observação prática: em t=0 temos \cos(0)=1, então f(0)=0, que bate com a propriedade da transformada dada (componente de pólo em s e pólo em s^{2}+\pi^{2}).

Resposta

f(t)=6\pi^{3}\bigl(1-\cos(\pi t)\bigr)

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