Demonstre as transformadas de Laplace par funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
(para
) e pede que se demonstre a transformada de Laplace dessa função.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função a transformar é
. - O objetivo é calcular
, isto é, a transformada de Laplace de .
Passo 2
Vamos lembrar a definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa, porque isso vai guiar todo o cálculo.
A definição é
A definição é
onde
é uma variável complexa (normalmente
). A integral só converge (no nosso caso) se a parte real de
for suficientemente grande para que o integrando decaia rápido o bastante no infinito; vamos verificar isso durante o cálculo.
Passo 3
Aplicando a definição a
obtemos
Para simplificar a escrita, definimos
Então precisamos calcular a integral
e a condição de convergência imediata é
, isto é
.
Passo 4
Vamos calcular
por partes (método padrão). Para manter generalidade usamos
para o coeficiente de
e depois colocamos
. Assim consideramos
Fazemos integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes: escolha
então
Aplicando a fórmula
obtemos
As fronteiras dão
se
, e em
a expressão vale
. Assim o termo de fronteira fornece
. O restante é
Denotando
temos
Segunda integração por partes para
: escolha
então
Aplicando a fórmula,
As fronteiras valem zero (em
a função seno é zero, e no infinito o exponencial zera), portanto
Passo 5
Substituímos
na expressão obtida para
:
Isolando
,
Agora retornamos ao caso concreto
. Assim
Lembrando que
, obtemos
com região de convergência
.
Passo 6
Comentário rápido (atalho útil para a prova): sabe-se que
Pela propriedade de deslocamento no domínio
,
onde
. No nosso caso
e
, então
o que coincide com o resultado acima e é muito rápido de aplicar em prova.