Determinar f(t) para as seguintes fun
F(s)=\frac{6 \pi^{5}}{s\left(s^{2}+\pi^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar f(t) tal que a transformada de Laplace de f seja
F(s)=\frac{6 \pi^{5}}{s\left(s^{2}+\pi^{2}\right)}.
Informações dadas:
  • A função transformada é F(s)=\dfrac{6 \pi^{5}}{s\left(s^{2}+\pi^{2}\right)}.
  • A tarefa é calcular f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} (assumir t\ge 0).

Passo 2

Estratégia: aplicar a transformada inversa termo a termo. Como F(s) é uma razão racional com um fator \dfrac{1}{s} e um quadrático irreduzível \left(s^{2}+\pi^{2}\right), a maneira direta é decompor em frações parciais da forma
\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+\pi^{2}},
porque sabemos pares de transformada de Laplace simples que correspondem a 1/s e a s/(s^{2}+\omega^{2}) ou \omega/(s^{2}+\omega^{2}).

Passo 3

Lembrete dos pares que vou usar (com explicação simples):
  • \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Aqui 1 é a função constante em t e s é a variável complexa da transformada.
  • \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}. Aqui \omega é a frequência real positiva; no nosso problema \omega=\pi.
    Esses pares são padrão e permitem inverter termos do tipo 1/s e s/(s^{2}+\pi^{2}).

Passo 4

Faço a decomposição em frações parciais. Escrevo
\frac{6 \pi^{5}}{s\left(s^{2}+\pi^{2}\right)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+\pi^{2}}.
Multiplico ambos os lados por s\left(s^{2}+\pi^{2}\right) para eliminar denominadores:
6\pi^{5}=A\left(s^{2}+\pi^{2}\right)+(Bs+C)s.

Passo 5

Expando e agrupo termos por potências de s:
6\pi^{5} = A s^{2} + A\pi^{2} + B s^{2} + C s = (A+B)s^{2} + C s + A\pi^{2}.
Agora comparo coeficientes dos polinômios em s (igualdade para todo s implica igualdade dos coeficientes):
  • Coeficiente de s^{2}: A+B=0.
  • Coeficiente de s^{1}: C=0.
  • Termo constante: A\pi^{2}=6\pi^{5}.

Passo 6

Resolvo o sistema de coeficientes:
  • De A\pi^{2}=6\pi^{5} vem
A=\frac{6\pi^{5}}{\pi^{2}}=6\pi^{3}.
  • De A+B=0 vem
B=-A=-6\pi^{3}.
  • E já tínhamos C=0.

Passo 7

Substituo A,B,C na decomposição:
\frac{6 \pi^{5}}{s\left(s^{2}+\pi^{2}\right)}=\frac{6\pi^{3}}{s}+\frac{-6\pi^{3}\,s+0}{s^{2}+\pi^{2}} =\;6\pi^{3}\left(\frac{1}{s}-\frac{s}{s^{2}+\pi^{2}}\right).

Passo 8

Aplico a transformada inversa termo a termo usando os pares lembrados:
f(t)=6\pi^{3}\left(\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}-\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+\pi^{2}}\right\}\right).
Usando \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{s/(s^{2}+\pi^{2})\}=\cos(\pi t), obtemos
f(t)=6\pi^{3}\bigl(1-\cos(\pi t)\bigr),\qquad t\ge 0.

Resposta

f(t)=6\pi^{3}\bigl(1-\cos(\pi t)\bigr)

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