Determinar
para as seguintes fun
Passo 1
O enunciado pede para determinar
tal que a transformada de Laplace de
seja
Informações dadas:
- A função transformada é
. - A tarefa é calcular
(assumir ).
Passo 2
Estratégia: aplicar a transformada inversa termo a termo. Como
é uma razão racional com um fator
e um quadrático irreduzível
, a maneira direta é decompor em frações parciais da forma
porque sabemos pares de transformada de Laplace simples que correspondem a
e a
ou
.
Passo 3
Lembrete dos pares que vou usar (com explicação simples):
-
. Aqui é a função constante em e é a variável complexa da transformada. -
. Aqui é a frequência real positiva; no nosso problema .
Esses pares são padrão e permitem inverter termos do tipoe .
Passo 4
Faço a decomposição em frações parciais. Escrevo
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Passo 5
Expando e agrupo termos por potências de
:
Agora comparo coeficientes dos polinômios em
(igualdade para todo
implica igualdade dos coeficientes):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Passo 6
Resolvo o sistema de coeficientes:
- De
vem
- De
vem
- E já tínhamos
.
Passo 7
Substituo
na decomposição:
Passo 8
Aplico a transformada inversa termo a termo usando os pares lembrados:
Usando
e
, obtemos