Considere a integral \int \frac{1}{4^{2}+(x-9)^{2}} d x. Prove, usando uma substituição trigonométrica adequada que
\int \frac{1}{4^{2}+(x-9)^{2}} d x=\frac{1}{\alpha} \arctan \left(\frac{x-\beta}{\gamma}\right)+C, one C é uma constante de integração,
para escolhas adequadas das constantes \alpha, \beta \in \gamma.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar “5/300”
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} In( 10 ) +3^{*} pi* \left(9\right.-exp(2)) - 3^{*} sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos: \mathbf{0 . 0 1 6 6 6 6 6} ou \mathbf{1 3 . 0 7 9 7 6}
\qquad
Parte 1) [ 40 \% dos pontos] Mostre precisamente a substituição trigonométrica utilizada.
E, a partir desta substituição, insira aqui os valores das constantes: \boldsymbol{\alpha}= \square \beta \square e \gamma= \square
Parte 2) [ \mathbf{3 0 \%} dos pontos] Considere uma partícula movendo-se ao longo de um eixo cujo campo de velocidade é dado por
v(t)=\frac{1}{4^{2}+(t-9)^{2}}
Determine a distância D percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo 9 \leq t \leq 13.
A distância D percorrida é dada por \square .
Parte 3) [30 % dos pontos] Sob as mesmas condições da Parte 2, determine agora a distância D_{\infty} percorrida pela partícula para t \geq 9, isto é, para 9 \leq t<\infty.
Neste caso, a distância percorrida D_{\infty} é dada por \square .
Dica (Parte 3): integrais impróprias … se \int f(x) d x=F(x)+C assumindo f(x) contínua para x \geq a então
\int_{a}^{\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty}[F(b)-F(a)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{4^{2} + (x - 9)^{2}} \, dx
usando substituição trigonométrica, e depois identificar constantes \alpha,\beta,\gamma tais que
\int \frac{1}{4^{2}+(x-9)^{2}}\,dx = \frac{1}{\alpha}\,\arctan\!\biggl(\frac{x-\beta}{\gamma}\biggr) + C.
Em seguida, usando este antiderivado, calcular duas distâncias
D = \int_{9}^{13} \frac{1}{4^{2}+(t-9)^{2}}\,dt \quad\text{e}\quad D_{\infty} = \int_{9}^{\infty} \frac{1}{4^{2}+(t-9)^{2}}\,dt.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica clássica para termos da forma a^{2} + u^{2}:
u = x - 9,\qquad a = 4,
e definimos
u = 4\tan\theta \quad\Longrightarrow\quad du = 4\operatorname{sec}^{2}\!\theta\,d\theta.
Então
4^{2} + (x-9)^{2} = 16 + u^{2} = 16 + 16\tan^{2}\!\theta = 16\operatorname{sec}^{2}\!\theta.

Passo 3

Substituindo na integral:
\int \frac{1}{16 + u^{2}}\,du = \int \frac{1}{16\operatorname{sec}^{2}\!\theta}\,\bigl(4\operatorname{sec}^{2}\!\theta\,d\theta\bigr) = \int \frac{4}{16}\,d\theta = \frac{1}{4}\,\theta + C.
Voltando a x, temos \theta = \arctan\!\bigl(\frac{u}{4}\bigr)=\arctan\!\bigl(\frac{x-9}{4}\bigr). Logo
\int \frac{1}{4^{2}+(x-9)^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\,\arctan\!\biggl(\frac{x-9}{4}\biggr) + C.
Comparando com \frac{1}{\alpha}\arctan\bigl(\tfrac{x-\beta}{\gamma}\bigr), concluímos
\alpha=4, \beta=9, \gamma=4.

Passo 4

Para a Parte 2 calculamos
D = \int_{9}^{13} \frac{1}{4^{2}+(t-9)^{2}}\,dt = \frac{1}{4}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{t-9}{4}\bigr)\Bigr]_{9}^{13} = \frac{1}{4}\bigl(\arctan(1)-\arctan(0)\bigr) = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{16}.
Em forma decimal (6 dígitos significativos ou mais):
D \approx 0.19634954.

Passo 5

Para a Parte 3 temos
D_{\infty} = \int_{9}^{\infty} \frac{1}{4^{2}+(t-9)^{2}}\,dt = \lim_{b\to\infty}\frac{1}{4}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{t-9}{4}\bigr)\Bigr]_{9}^{b} = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{\pi}{2}-0\Bigr) = \frac{\pi}{8}.
Em forma decimal (6 dígitos significativos ou mais):
D_{\infty} \approx 0.39269908.

Resposta

Parte 1: \alpha=4.000000, \beta=9.000000 e \gamma=4.000000.
Parte 2: D=0.19634954.
Parte 3: D_{\infty}=0.39269908.

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