Considere a integral
. Prove, usando uma substituição trigonométrica adequada que
, one
é uma constante de integração,
para escolhas adequadas das constantes
.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva
- 0.0166666 para representar “5/300”
- ou 13.07976 para representar
(que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) "
In( 10 )
pi*
-exp(2)) -
sqrt(5)" diretamente no Google por exemplo)
A sugestão é que você use 6 ou mais dígitos significativos:
ou
Parte 1) [
dos pontos] Mostre precisamente a substituição trigonométrica utilizada.
E, a partir desta substituição, insira aqui os valores das constantes:
e
Parte 2) [
dos pontos] Considere uma partícula movendo-se ao longo de um eixo cujo campo de velocidade é dado por
Determine a distância
percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo
.
A distância
percorrida é dada por
.
Parte 3) [30 % dos pontos] Sob as mesmas condições da Parte 2, determine agora a distância
percorrida pela partícula para
, isto é, para
.
Neste caso, a distância percorrida
é dada por
.
Dica (Parte 3): integrais impróprias … se
assumindo
contínua para
então
para escolhas adequadas das constantes
Parte 1) [
E, a partir desta substituição, insira aqui os valores das constantes:
Parte 2) [
A distância
Neste caso, a distância percorrida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando substituição trigonométrica, e depois identificar constantes
tais que
Em seguida, usando este antiderivado, calcular duas distâncias
Passo 2
Fazemos a substituição trigonométrica clássica para termos da forma
:
e definimos
Então
Passo 3
Substituindo na integral:
Voltando a
, temos
. Logo
Comparando com
, concluímos
,
,
.
Passo 4
Para a Parte 2 calculamos
Em forma decimal (6 dígitos significativos ou mais):
Passo 5
Para a Parte 3 temos
Em forma decimal (6 dígitos significativos ou mais):
Resposta
Parte 1:
,
e
.
Parte 2: .
Parte 3: .
Parte 2:
Parte 3: