Dada qualquer matriz A, mostre que A A^{T} e A^{T} A são sempre simétricas.
Através de um exemplo, mostre que A A^{T} e A^{T} A podem não ser iguais, até quando A for quadrada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer matriz A (de dimensões compatíveis), as duas matrizes AA^{T} e A^{T}A são sempre simétricas. O conteúdo envolvido é álgebra de matrizes, em particular a propriedade da transposta de um produto:
(BC)^{T} = C^{T}B^{T}.
Além disso, precisamos dar um exemplo concreto de matriz quadrada A para a qual
AA^{T} \neq A^{T}A.

Passo 2

Mostramos que AA^{T} é simétrica, isto é,
(AA^{T})^{T} = AA^{T}.
Usando a propriedade da transposta de um produto, temos
(AA^{T})^{T} = (A^{T})^{T}A^{T} = A\,A^{T},
pois (A^{T})^{T}=A. Logo, (AA^{T})^{T} = AA^{T}.

Passo 3

De modo análogo, para A^{T}A temos
(A^{T}A)^{T} = A^{T}(A)^{T} = A^{T}A,
pois (A)^{T}=A^{T}. Portanto, (A^{T}A)^{T} = A^{T}A, mostrando que A^{T}A também é simétrica.

Passo 4

Vamos agora dar um exemplo de matriz quadrada 2\times2 em que AA^{T}\neq A^{T}A. Seja
A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
Calculamos
AA^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix},
enquanto
A^{T}A = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, concluímos que, mesmo em caso quadrado, AA^{T} e A^{T}A podem ser diferentes.

Resposta

Mostramos que \,AA^{T} e \,A^{T}A são sempre simétricas e, com o exemplo
A = \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},
vimos que
AA^{T} = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \quad\neq\quad A^{T}A = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

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