Quais valores de a, b, c levam a trocas de linhas, e quais tornam as matrizes abaixo singulares?
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ a & 8 & 3 \\ 0 & b & 5 \end{array}\right) \quad \text { e } \quad A=\left(\begin{array}{cc} c & 2 \\ 6 & 4 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para cada uma das duas matrizes paramétricas (a) identificar em que valores de a,b,c é necessário fazer troca de linhas ao aplicar eliminação de Gauss (isto é, quando um pivô fica zero e precisa ser obtido trocando com outra linha) e (b) determinar para quais valores elas são singulares (determinante zero).

Passo 2

Considere a matriz
A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\ a & 8 & 3\\\\ 0 & b & 5 \end{pmatrix}.
Ao eliminar embaixo do pivô 1 (entrada (1,1)) não há problema, pois esse pivô é sempre não zero. Após zerar a entrada (2,1) e (3,1), o segundo pivô passa a ser a nova entrada (2,2), dada por
8 - 2a.
Esse pivô é zero exatamente quando
8 - 2a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 4.
Nesse caso, se quisermos continuar a eliminação, precisamos trocar a linha 2 com a linha 3 para obter um pivô não nulo, o que só é possível se a entrada (3,2), que é b, for diferente de zero.

Passo 3

Para ver quando A_3 é singular, calculamos o determinante por expansão na primeira coluna:
\det(A_3) = 1\cdot(8\cdot5 - 3b) \;-\; 2\cdot\bigl(a\cdot5 - 0\bigr) = 40 - 3b - 10a.
A condição de singularidade é
40 - 10a - 3b = 0 \quad\Longrightarrow\quad 10a + 3b = 40.

Passo 4

Agora a matriz
A_2 = \begin{pmatrix} c & 2\\\\ 6 & 4 \end{pmatrix}.
No passo de eliminar abaixo do pivô c (entrada (1,1)), se c=0 precisamos trocar a linha 1 com a linha 2 (pois a entrada (2,1)=6\neq0). O determinante é
\det(A_2) = c\cdot4 - 6\cdot2 = 4c - 12,
logo a matriz é singular quando
4c - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad c = 3.

Resposta

Para \displaystyle A_3:
  • Troca de linhas ocorre se e só se \displaystyle a=4 e \displaystyle b\neq0.
  • É singular quando \displaystyle 10a + 3b = 40.
Para \displaystyle A_2:
  • Troca de linhas ocorre se e só se \displaystyle c=0.
  • É singular quando \displaystyle c=3.

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