Utilize o método dos discos para calcular o volume do sólido obtido pela rotação da curva y=\sqrt{x}, de x=0 a x=4, em torno do cixo x.
A) \frac{32 \pi}{5}
B) \frac{16 \pi}{3}
C) \frac{32 \pi}{3}
D) \frac{48 \pi}{5}
E) Nenhuma das Alternativas. A resposta correta é \qquad .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da curva \,y=\sqrt{x}\, para 0\le x\le4 em torno do eixo x. O conteúdo aplicável é o método dos discos, em que o volume é dado por
V=\int_{a}^{b}\pi\bigl(\text{raio}\bigr)^{2}dx.

Passo 2

Aqui o raio de cada disco, numa posição x, é y. Logo a área da seção transversal é \pi y^{2}, e a fórmula do volume fica
V=\int_{0}^{4}\pi\bigl(y\bigr)^{2}dx.

Passo 3

Substituindo y=\sqrt{x} temos y^{2}=x. Assim
V=\pi\int_{0}^{4}x\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral:
\int_{0}^{4}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=\frac{16}{2}=8.
Portanto
V=8\pi.

Passo 5

Nenhuma das alternativas apresentadas equivale a 8\pi.

Resposta

E) Nenhuma das Alternativas. A resposta correta é 8\pi.

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