Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x^{2} e y=x ao redor do eixo y.
A) \frac{\pi}{6}
B) \frac{\pi}{30}
C) \frac{\pi}{10}
D) \frac{\pi}{15}
E) Nenhuma das Alternativas. A resposta correta é \qquad .

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região no primeiro quadrante limitada por \;y=x^2\; e \;y=x.
Conteúdo: cálculo de volume por método das cascas cilíndricas. Vamos usar esse método porque a rotação é em torno de y e a descrição em termos de x é direta.

Passo 2

Encontramos onde as curvas se interceptam, resolvendo
x^2 = x
x^2 - x = 0
x(x-1)=0
Logo as intersecções são x=0 e x=1. A região está entre x=0 e x=1.

Passo 3

No método das cascas, a uma abscissa x corresponde uma casca de raio r=x, altura h = \bigl(\text{topo} - \text{fundo}\bigr) = x - x^2 e espessura dx.
A área lateral de cada casca é 2\pi r\,h = 2\pi x\,(x-x^2).

Passo 4

O volume total é
V = \int_{x=0}^{1} 2\pi x\,(x - x^2)\,dx = 2\pi \int_{0}^{1}\bigl(x^2 - x^3\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculando a integral,
\int_{0}^{1}\bigl(x^2 - x^3\bigr)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.
Logo
V = 2\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}.

Resposta

A) \displaystyle \frac{\pi}{6}

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