Considere a integral I=\int_{0}^{\sqrt{12}} \int_{\frac{x^{2}}{2}}^{4+\sqrt{16-x^{2}}} x y^{1} d y d x
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas, \boldsymbol{I} deve ser escrita como uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i) y \in[0, \square]

ii) x \in[0, \square]
Para a segunda integral:
iii) y \in[\square, \square].


iv) x \in[0, \square]

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
I=\int_{0}^{\sqrt{12}} \int_{\frac{x^{2}}{2}}^{4+\sqrt{16-x^{2}}} x\,y\,dy\,dx.
O que se pede aqui: ao inverter a ordem de integração (manter coordenadas cartesianas), escrever I como soma de integrais duplas e informar os limites de integração dessas integrais. Especificamente, preencher os quatro limites pedidos:
  • (i) limite superior de y para a primeira integral;
  • (ii) limites de x para a primeira integral;
  • (iii) limites de y para a segunda integral;
  • (iv) limites de x para a segunda integral.
As informações relevantes dadas:
  • x varia originalmente em [0,\sqrt{12}].
  • Para cada x fixo, y varia entre y=\dfrac{x^{2}}{2} (limite inferior) e y=4+\sqrt{16-x^{2}} (limite superior).
  • O integrando é x\,y.

Passo 2

Descrever as curvas que limitam a região no plano (x,y):
  • Curva inferior: \displaystyle y=\frac{x^{2}}{2}. Esta é uma parábola cujo vértice está em (0,0) e que cresce para a direita conforme x aumenta.
  • Curva superior: \displaystyle y=4+\sqrt{16-x^{2}}. A parte \sqrt{16-x^{2}} é a semi-circunferência superior de raio 4 centrada na origem; ao somar 4 temos a mesma semi-circunferência deslocada para cima por 4.
Pontos notáveis:
  • Em x=0: y_{\text{inf}}=\dfrac{0^{2}}{2}=0 e y_{\text{sup}}=4+\sqrt{16}=8. Assim a região toca os pontos (0,0) e (0,8).
  • Para encontrar a abscissa onde as curvas se encontram, resolver \dfrac{x^{2}}{2}=4+\sqrt{16-x^{2}}. Procede-se assim:
\frac{x^{2}}{2}-4=\sqrt{16-x^{2}}.
Seja t=\sqrt{16-x^{2}} (logo t\ge0 e x^{2}=16-t^{2}). Substituindo:
\frac{16-t^{2}}{2}-4=t.
Multiplicando por 2:
16-t^{2}-8=2t \quad\Rightarrow\quad 8-t^{2}=2t.
Rearranjando:
t^{2}+2t-8=0.
Resolvendo a quadrática:
t=\frac{-2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\frac{-2\pm6}{2}\Rightarrow t=2\\ \text{ou}\\ t=-4.
Descartando t=-4 (incompatível com t\ge0), fica t=2. Então
x^{2}=16-t^{2}=16-4=12 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{12}.
Neste ponto a coordenada y vale
y=\frac{x^{2}}{2}=\frac{12}{2}=6.
Portanto as curvas se intersectam em \bigl(\sqrt{12},6\bigr).

Passo 3

Agora raciocinando para inverter a ordem:
  • O menor valor de y na região é y_{\min}=0 (ocorre em x=0 na parábola).
  • O maior valor de y é y_{\max}=8 (ocorre em x=0 na curva superior).
    Logo y variará globalmente em [0,8].
Para um y fixo, as condições que determinam x são:
y\ge\frac{x^{2}}{2}\quad\Longrightarrow\quad x\le\sqrt{2y},
e
y\le 4+\sqrt{16-x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{16-x^{2}}\ge y-4
(com a condição y\ge4 quando for usada), que ao rearranjar dá
x^{2}\le 16-(y-4)^{2}\quad\Longrightarrow\quad x\le\sqrt{\,16-(y-4)^{2}\,}.
Para um y fixo o x deve satisfazer ambas as desigualdades, isto é
0\le x\le \min\!\bigl(\sqrt{2y},\,\sqrt{16-(y-4)^{2}}\bigr).
Portanto é preciso descobrir para quais y cada uma das duas expressões é a menor. Igualando as duas expressões para localizar o ponto de troca:
\sqrt{2y}=\sqrt{16-(y-4)^{2}}.
Elevando ao quadrado:
2y=16-(y-4)^{2}.
Expandindo e rearranjando:
2y=16-(y^{2}-8y+16)=-y^{2}+8y
\Rightarrow\\ y^{2}-6y=0\quad\Rightarrow\\ y(y-6)=0.
Logo igualdade em y=0 e em y=6. Como o intervalo de y é [0,8], a troca ocorre em y=6. Testando um valor para ver qual expressão é menor em cada subintervalo:
  • Para y=1: \sqrt{2y}=\sqrt{2}\approx1{,}414 e \sqrt{16-(1-4)^{2}}=\sqrt{7}\approx2{,}645. Então \sqrt{2y} é a menor quando y está próximo de 0.
  • Para y=7: \sqrt{2y}\approx3{,}742 e \sqrt{16-(7-4)^{2}}=\sqrt{7}\approx2{,}645. Então \sqrt{16-(y-4)^{2}} é a menor quando y está próximo de 8.
Conclusão: é preciso dividir a integral em duas partes em y:
  • Para y\in[0,6]: o limite superior em x é \sqrt{2y}.
  • Para y\in[6,8]: o limite superior em x é \sqrt{16-(y-4)^{2}}.
Em ambas as partes x parte de 0 (região está no semiplano x\ge0).

Passo 4

Escrevendo a integral invertida como soma de duas integrais (mantendo o integrando x\,y):
I=\int_{y=0}^{6}\int_{x=0}^{\sqrt{2y}} x\,y\,dx\,dy \;+\; \int_{y=6}^{8}\int_{x=0}^{\sqrt{\,16-(y-4)^{2}\,}} x\,y\,dx\,dy.
Portanto os limites pedidos são exatamente aqueles obtidos acima.

Resposta

\text{(i) }y\in[0,6]
\text{(ii) }x\in[0,\sqrt{2y}]
\text{(iii) }y\in[6,8]
\text{(iv) }x\in[0,\sqrt{\,16-(y-4)^{2}\,}]

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