Considere a integral
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas,
deve ser escrita como uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i)
□
ii)
□
Para a segunda integral:
iii)
.
□
□
iv)
□
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas,
Para a primeira integral:
i)
□
ii)
□
iii)
□
□
iv)
□
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
O que se pede aqui: ao inverter a ordem de integração (manter coordenadas cartesianas), escrever
como soma de integrais duplas e informar os limites de integração dessas integrais. Especificamente, preencher os quatro limites pedidos:
- (i) limite superior de
para a primeira integral; - (ii) limites de
para a primeira integral; - (iii) limites de
para a segunda integral; - (iv) limites de
para a segunda integral.
As informações relevantes dadas:
-
varia originalmente em . - Para cada
fixo, varia entre (limite inferior) e (limite superior). - O integrando é
.
Passo 2
Descrever as curvas que limitam a região no plano
:
-
Curva inferior:
. Esta é uma parábola cujo vértice está em e que cresce para a direita conforme aumenta. -
Curva superior:
. A parte é a semi-circunferência superior de raio centrada na origem; ao somar temos a mesma semi-circunferência deslocada para cima por .
Pontos notáveis:
- Em
: e . Assim a região toca os pontos e . - Para encontrar a abscissa onde as curvas se encontram, resolver
. Procede-se assim:
Seja
(logo
e
). Substituindo:
Multiplicando por
:
Rearranjando:
Resolvendo a quadrática:
Descartando
(incompatível com
), fica
. Então
Neste ponto a coordenada
vale
Portanto as curvas se intersectam em
.
Passo 3
Agora raciocinando para inverter a ordem:
- O menor valor de
na região é (ocorre em na parábola). - O maior valor de
é (ocorre em na curva superior).
Logovariará globalmente em .
Para um
fixo, as condições que determinam
são:
e
(com a condição
quando for usada), que ao rearranjar dá
Para um
fixo o
deve satisfazer ambas as desigualdades, isto é
Portanto é preciso descobrir para quais
cada uma das duas expressões é a menor. Igualando as duas expressões para localizar o ponto de troca:
Elevando ao quadrado:
Expandindo e rearranjando:
Logo igualdade em
e em
. Como o intervalo de
é
, a troca ocorre em
. Testando um valor para ver qual expressão é menor em cada subintervalo:
- Para
: e . Então é a menor quando está próximo de . - Para
: e . Então é a menor quando está próximo de .
Conclusão: é preciso dividir a integral em duas partes em
:
- Para
: o limite superior em é . - Para
: o limite superior em é .
Em ambas as partes
parte de
(região está no semiplano
).
Passo 4
Escrevendo a integral invertida como soma de duas integrais (mantendo o integrando
):
Portanto os limites pedidos são exatamente aqueles obtidos acima.