Considere a integral
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas,
deve ser escrita como uma soma de integrais cluplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i)
ii)
, □ ]
Para a segunda integral:
iii)
□ , □ ].
iv)
, □ ]
b) Ao transformar
para coordenadas polares, também é necessário usar uma soma de integrais cluplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral em polares:
i)
, □ ]
ii)
, □ ]
Para a segunda integral em polares:
iii)
□ , □ ]
iv)
, □ ]
Além disso, a transformação do integrando em coordenadas polares é tal que
□
.
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas,
Para a primeira integral:
i)
ii)
iii)
iv)
b) Ao transformar
Para a primeira integral em polares:
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede duas coisas de preenchimento (em cada parte há duas integrais a somar):
a) Ao inverter a ordem em coordenadas cartesianas, preencher os limites de duas integrais (ou seja, achar os intervalos de
e as expressões dos limites em
, em cada parte).
b) Ao passar para coordenadas polares, também escrever a soma de duas integrais e preencher os limites de
e
em cada uma, além de transformar o integrando
em
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O limite em
original é . - Para cada
fixo, varia entre a parábola (limite inferior) e a curva (limite superior). - Precisa-se dividir a região em duas sub-regiões quando invertemos a ordem (e também em polares), então haverá duas integrais somadas.
Passo 2
Entender a região do plano e achar interseções importantes (passo essencial para inverter ordem).
A fronteira inferior é a parábola
A fronteira superior satisfaz a equação (ao deslocar a raiz)
Note que a curva
pertence ao semicírculo (a metade superior) da circunferência centrada em
e raio
, pois a equação da circunferência é
Para achar onde a parábola e essa semicircunferência se cruzam, substitui-se
na equação da circunferência:
Desenvolvendo e simplificando:
Multiplicando por
:
logo
ou
. Como
na integral original, as interseções relevantes são em
e
.
Os correspondentes valores de
nas interseções:
- Em
: e também . (As duas curvas se encontram na origem e na outra extremidade, por construção). - Em
: e a semicircunferência dá . Então eles se cruzam em .
Portanto a região projetada no eixo
vai de
até
, e a troca da ordem exige separar em dois intervalos de
porque, para
pequenos (até certo ponto), a condição
não impõe restrição adicional (é automática), enquanto para
maiores a condição do círculo passa a limitar
.
Passo 3
Determinar, para um
fixo, quais valores de
satisfazem as desigualdades da região.
A região original exige simultaneamente
Da primeira desigualdade obtemos (para
)
A segunda desigualdade, como observado, é automática quando
. Quando
podemos reescrevê-la (ao isolar e elevar ao quadrado) como
Assim, para um dado
o limite em
é o menor entre
e
. Como essas duas funções de
se cruzam em
e
(ver Passo 2), a partição natural em
é:
- Para
: o limite direito é (parábola domina). - Para
: o limite direito é (circunferência domina).
Portanto, ao inverter a ordem, a integral se escreve como soma de duas integrais com esses limites.
Passo 4
Escrever explicitamente as duas integrais (inversão em coordenadas cartesianas) e explicar cada limite:
Primeira integral (para
entre
e
):
Aqui, para
a desigualdade do círculo é automática e o
máximo vem da parábola
.
Segunda integral (para
entre
e
):
Aqui, para
a condição
impõe
, que é o limite direito.
Isto responde a parte (a): os intervalos de
e as expressões dos limites em
.
Passo 5
Transformação para coordenadas polares — obter equações das curvas em polares e o integrando transformado.
Relações padrões:
Transformar a parábola
para polares:
Para
podemos dividir por
e obter a expressão radial:
Transformar a circunferência (a semicircunferência superior)
:
substituindo e
,
substituindo
A solução relevante é
O integrando
em polares fica:
Passo 6
Determinar o ângulo
que separa as duas sub-regiões em polares (onde as duas curvas de fronteira trocam de ordem radial).
Nas polares, para um
fixo o ponto admissível tem
limitado por
menor entre
e
. O ângulo de corte
é o que satisfaz
Se
a igualdade é trivial (origem), para
dividimos por
e obtemos
Logo
Uma forma alternativa e mais simples de apresentar
usa tangente: de
segue
, portanto
Numérico:
e é o ângulo onde as duas curvas se encontram (corresponde ao ponto de interseção
encontrado antes).
Passo 7
Escrever as duas integrais em coordenadas polares usando
.
Para
tem-se que
, então o teto radial é a parábola:
Para
tem-se
, então o teto radial é a circunferência:
Isto responde a parte (b): os intervalos de
, de
e a transformação do integrando.
Resposta
a.i)
a.ii)
a.iii)
a.iv)
a.ii)
a.iii)
a.iv)
b.i)
b.ii)
b.iii)
b.iv)
b.ii)
b.iii)
b.iv)
Transformação do integrando: