Considere a integral I=\int_{0}^{\sqrt{48}} \int_{\frac{x^{2}}{6}}^{7+\sqrt{49-x^{2}}} x y^{1} d y d x
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas, \boldsymbol{I} deve ser escrita como uma soma de integrais cluplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i) y \in[0, \square]
ii) x \in[0, □ ]
Para a segunda integral:
iii) y \in[ □ , □ ].
iv) x \in[0, □ ]
b) Ao transformar I para coordenadas polares, também é necessário usar uma soma de integrais cluplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral em polares:
i) \theta \in[0, □ ]
ii) r \in[0, □ ]
Para a segunda integral em polares:
iii) \theta \in[ □ , □ ]
iv) r \in[0, □ ]
Além disso, a transformação do integrando em coordenadas polares é tal que
f(x, y) d y d x=x y^{1} d y d x= d r d \theta.

Passo 1

O enunciado dá a integral
I=\int_{0}^{\sqrt{48}}\int_{x^{2}/6}^{\,7+\sqrt{49-x^{2}}} x\,y\,dy\,dx
e pede duas coisas de preenchimento (em cada parte há duas integrais a somar):
a) Ao inverter a ordem em coordenadas cartesianas, preencher os limites de duas integrais (ou seja, achar os intervalos de y e as expressões dos limites em x, em cada parte).
b) Ao passar para coordenadas polares, também escrever a soma de duas integrais e preencher os limites de \theta e r em cada uma, além de transformar o integrando x y\,dy\,dx em dr\,d\theta.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O limite em x original é 0\le x\le \sqrt{48}.
  • Para cada x fixo, y varia entre a parábola y=\dfrac{x^{2}}{6} (limite inferior) e a curva y=7+\sqrt{49-x^{2}} (limite superior).
  • Precisa-se dividir a região em duas sub-regiões quando invertemos a ordem (e também em polares), então haverá duas integrais somadas.

Passo 2

Entender a região do plano e achar interseções importantes (passo essencial para inverter ordem).
A fronteira inferior é a parábola
y=\frac{x^{2}}{6}.
A fronteira superior satisfaz a equação (ao deslocar a raiz)
y=7+\sqrt{49-x^{2}}.
Note que a curva y=7+\sqrt{49-x^{2}} pertence ao semicírculo (a metade superior) da circunferência centrada em (0,7) e raio 7, pois a equação da circunferência é
x^{2}+(y-7)^{2}=49.
Para achar onde a parábola e essa semicircunferência se cruzam, substitui-se y=\dfrac{x^{2}}{6} na equação da circunferência:
x^{2}+\Big(\frac{x^{2}}{6}-7\Big)^{2}=49.
Desenvolvendo e simplificando:
x^{2}+\frac{x^{4}}{36}-\frac{7\cdot2}{6}x^{2}+49=49 \quad\Rightarrow\quad \frac{x^{4}}{36}-\frac{4}{3}x^{2}=0.
Multiplicando por 36:
x^{4}-48x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x^{2}(x^{2}-48)=0,
logo x^{2}=0 ou x^{2}=48. Como x\ge0 na integral original, as interseções relevantes são em x=0 e x=\sqrt{48}.
Os correspondentes valores de y nas interseções:
  • Em x=0: y=\dfrac{0^2}{6}=0 e também y=7+\sqrt{49-0}=14. (As duas curvas se encontram na origem e na outra extremidade, por construção).
  • Em x=\sqrt{48}: y=\dfrac{48}{6}=8 e a semicircunferência dá y=7+\sqrt{49-48}=7+1=8. Então eles se cruzam em y=8.
Portanto a região projetada no eixo y vai de y_{\min}=0 até y_{\max}=14, e a troca da ordem exige separar em dois intervalos de y porque, para y pequenos (até certo ponto), a condição y\le 7+\sqrt{49-x^{2}} não impõe restrição adicional (é automática), enquanto para y maiores a condição do círculo passa a limitar x.

Passo 3

Determinar, para um y fixo, quais valores de x satisfazem as desigualdades da região.
A região original exige simultaneamente
y\ge \frac{x^{2}}{6} \quad\text{e}\quad y\le 7+\sqrt{49-x^{2}}.
Da primeira desigualdade obtemos (para x\ge0)
x^{2}\le 6y\quad\Rightarrow\quad 0\le x\le \sqrt{6y}.
A segunda desigualdade, como observado, é automática quando y\le7. Quando y>7 podemos reescrevê-la (ao isolar e elevar ao quadrado) como
x^{2} \le 49-(y-7)^{2}\quad\Rightarrow\quad 0\le x\le \sqrt{\,49-(y-7)^{2}\,}.
Assim, para um dado y o limite em x é o menor entre \sqrt{6y} e \sqrt{\,49-(y-7)^{2}\,}. Como essas duas funções de y se cruzam em y=0 e y=8 (ver Passo 2), a partição natural em y é:
  • Para 0\le y\le 8: o limite direito é x=\sqrt{6y} (parábola domina).
  • Para 8\le y\le 14: o limite direito é x=\sqrt{\,49-(y-7)^{2}\,} (circunferência domina).
Portanto, ao inverter a ordem, a integral se escreve como soma de duas integrais com esses limites.

Passo 4

Escrever explicitamente as duas integrais (inversão em coordenadas cartesianas) e explicar cada limite:
Primeira integral (para y entre 0 e 8):
\int_{y=0}^{8}\int_{x=0}^{\sqrt{6y}} x\,y\,dx\,dy.
Aqui, para y\in[0,8] a desigualdade do círculo é automática e o x máximo vem da parábola x=\sqrt{6y}.
Segunda integral (para y entre 8 e 14):
\int_{y=8}^{14}\int_{x=0}^{\sqrt{\,49-(y-7)^{2}\,}} x\,y\,dx\,dy.
Aqui, para y\in[8,14] a condição y\le 7+\sqrt{49-x^{2}} impõe x\le \sqrt{49-(y-7)^{2}}, que é o limite direito.
Isto responde a parte (a): os intervalos de y e as expressões dos limites em x.

Passo 5

Transformação para coordenadas polares — obter equações das curvas em polares e o integrando transformado.
Relações padrões:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad dx\,dy=r\,dr\,d\theta.
Transformar a parábola y=\dfrac{x^{2}}{6} para polares:
r\sin\theta=\frac{r^{2}\cos^{2}\theta}{6}.
Para r>0 podemos dividir por r e obter a expressão radial:
r=\frac{6\sin\theta}{\cos^{2}\theta}.
Transformar a circunferência (a semicircunferência superior) x^{2}+(y-7)^{2}=49:
substituindo x e y,
r^{2}-14r\sin\theta=0\quad\Rightarrow\quad r( r-14\sin\theta)=0.
A solução relevante é
r=14\sin\theta.
O integrando x\,y\,dx\,dy em polares fica:
x\,y\,dx\,dy=(r\cos\theta)(r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta)=r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Passo 6

Determinar o ângulo \theta que separa as duas sub-regiões em polares (onde as duas curvas de fronteira trocam de ordem radial).
Nas polares, para um \theta fixo o ponto admissível tem r limitado por r\le menor entre r_{\text{parábola}}=\dfrac{6\sin\theta}{\cos^{2}\theta}á e r_{\text{circ}}=14\sin\theta. O ângulo de corte \theta_0 é o que satisfaz
\frac{6\sin\theta_{0}}{\cos^{2}\theta_{0}}=14\sin\theta_{0}.
Se \sin\theta_{0}=0 a igualdade é trivial (origem), para \sin\theta_{0}\ne0 dividimos por \sin\theta_{0} e obtemos
\frac{6}{\cos^{2}\theta_{0}}=14\quad\Rightarrow\quad \cos^{2}\theta_{0}=\frac{3}{7}.
Logo
\theta_{0}=\operatorname{arccos}\!\bigg(\sqrt{\tfrac{3}{7}}\bigg).
Uma forma alternativa e mais simples de apresentar \theta_{0} usa tangente: de \cos^{2}\theta_{0}=3/7 segue \tan^{2}\theta_{0}=4/3, portanto
\theta_{0}=\arctan\!\Big(\frac{2}{\sqrt{3}}\Big).
Numérico: \theta_{0}\in(0,\tfrac{\pi}{2}) e é o ângulo onde as duas curvas se encontram (corresponde ao ponto de interseção y=8 encontrado antes).

Passo 7

Escrever as duas integrais em coordenadas polares usando \theta_{0}=\arctan\!\big(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\big).
Para 0\le\theta\le\theta_{0} tem-se que r_{\text{parábola}}\le r_{\text{circ}}á, então o teto radial é a parábola:
\int_{\theta=0}^{\theta_{0}}\int_{r=0}^{\,\dfrac{6\sin\theta}{\cos^{2}\theta}} r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Para \theta_{0}\le\theta\le \tfrac{\pi}{2} tem-se r_{\text{circ}}\le r_{\text{parábola}}á, então o teto radial é a circunferência:
\int_{\theta=\theta_{0}}^{\pi/2}\int_{r=0}^{\,14\sin\theta} r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Isto responde a parte (b): os intervalos de \theta, de r e a transformação do integrando.

Resposta

a.i) [0,8]
a.ii) [0,\sqrt{6y}]
a.iii) [8,14]
a.iv) [0,\sqrt{\,49-(y-7)^{2}\,}]
b.i) [0,\arctan\!\big(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\big)]
b.ii) [0,\dfrac{6\sin\theta}{\cos^{2}\theta}]
b.iii) [\arctan\!\big(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\big),\tfrac{\pi}{2}]
b.iv) [0,14\sin\theta]
Transformação do integrando:
x y\,dy\,dx = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

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