Encontre o comprimento da curva
\vec{r}(t)=\left\langle\ln t, t^{2}, 1 / t\right\rangle, \quad 1 \leq t \leq 2 .

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva dada pelo vetor
\vec{r}(t)=\left\langle \ln t,\; t^{2},\; \frac{1}{t}\right\rangle \qquad\text{para}\qquad 1 \le t \le 2.
O que precisamos encontrar é um único número: o comprimento (arc length) da curva no intervalo de parâmetro indicado. As informações relevantes são:
  • A função vetorial \vec r(t) está definida e é diferenciável em [1,2].
  • O intervalo do parâmetro é t\in[1,2].
    Não há mais dados; a tarefa é aplicar a fórmula do comprimento de curva e avaliar a integral resultante.

Passo 2

Lembrete da fórmula: se \vec r(t) é diferenciável em [a,b], o comprimento da curva de t=a até t=b é
L=\int_{a}^{b}\big\lVert \vec r\,'(t)\big\rVert\,dt.
Aqui \vec r\,'(t) é a derivada componente a componente e \big\lVert \vec v\big\rVert é a norma euclidiana de um vetor \vec v. Explicando devagar:
  • Se \vec r(t)=\langle x(t),y(t),z(t)\rangle, então \vec r\,'(t)=\langle x'(t),y'(t),z'(t)\rangle.
  • E \big\lVert \vec r\,'(t)\big\rVert=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
    No nosso caso a=1 e b=2.

Passo 3

Vamos derivar cada componente da função vetorial, mostrando o porquê de cada termo:
  • x(t)=\ln t então x'(t)=\dfrac{1}{t}. (Derivada do logaritmo natural.)
  • y(t)=t^{2} então y'(t)=2t. (Derivada de potência.)
  • z(t)=\dfrac{1}{t}=t^{-1} então z'(t)=-\,\dfrac{1}{t^{2}}. (Regra de potência.)
    Portanto
\vec r\,'(t)=\left\langle \frac{1}{t},\; 2t,\; -\frac{1}{t^{2}}\right\rangle.

Passo 4

Calcular a norma quadrada e a norma:
\big\lVert \vec r\,'(t)\big\rVert^{2} =\left(\frac{1}{t}\right)^{2}+(2t)^{2}+\left(-\frac{1}{t^{2}}\right)^{2} = \frac{1}{t^{2}} + 4t^{2} + \frac{1}{t^{4}}.
Para ficar claro, cada termo vem do quadrado de uma derivada componente:
  • \left(\dfrac{1}{t}\right)^2=\dfrac{1}{t^{2}},
  • (2t)^2=4t^{2},
  • \left(-\dfrac{1}{t^{2}}\right)^2=\dfrac{1}{t^{4}}.
    Logo a norma é
\big\lVert \vec r\,'(t)\big\rVert = \sqrt{\,4t^{2} + \dfrac{1}{t^{2}} + \dfrac{1}{t^{4}}\, }.

Passo 5

Montar a integral do comprimento usando a fórmula do Passo 2 e o resultado do Passo 4:
L=\int_{1}^{2} \sqrt{\,4t^{2} + \dfrac{1}{t^{2}} + \dfrac{1}{t^{4}}\,}\; dt.
Este é o valor exato do comprimento escrito como integral. Sempre que houver uma raiz de soma de potências assim, é natural tentar simplificar algébrica ou encontrar uma primitiva. Vamos tentar ver se a expressão pode ser simplificada.

Passo 6

Tentativa de simplificação algébrica (mostrando o raciocínio):
colocando sobre denominador comum t^{4} temos
4t^{2} + \frac{1}{t^{2}} + \frac{1}{t^{4}} = \frac{4t^{6} + t^{2} + 1}{t^{4}}.
Observe que o numerador factoriza quando se põe y=t^{2}:
4y^{3}+y+1=(2y+1)(2y^{2}-y+1),
isto é,
4t^{6}+t^{2}+1=(2t^{2}+1)\bigl(2t^{4}-t^{2}+1\bigr).
Portanto uma forma alternativa da integranda é
\big\lVert \vec r\,'(t)\big\rVert = \frac{\sqrt{(2t^{2}+1)\,(2t^{4}-t^{2}+1)}}{t^{2}}.
Apesar dessa factorização, a integral resultante não se reduz a uma primitiva elementar óbvia (não fica na forma imediata de derivada de um radical simples). Ou seja, não há uma primitiva elementar simples que seja equivalente a escrever L em termos de funções elementares padrão sem recorrer a integrais especiais. Por isso, a abordagem prática é avaliar a integral numericamente com boa precisão (método que também é usado em provas quando a primitiva não é elementar).

Passo 7

Escolhi fazer uma aproximação numérica cuidadosa usando a Regra de Simpson (método numérico de integração). Explico o método de forma simples:
  • Dividimos o intervalo [1,2] em n subintervalos de largura h=(2-1)/n. Para n par, a Regra de Simpson aproxima
\int_{1}^{2} f(t)\,dt \approx \frac{h}{3}\bigl(f(t_{0})+4f(t_{1})+2f(t_{2})+\dots+4f(t_{n-1})+f(t_{n})\bigr),
onde t_{k}=1+k h.
  • A função que estamos integrando é f(t)=\sqrt{4t^{2}+\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{1}{t^{4}}}, contínua e suave em [1,2], então Simpson converge rápido.
    Vou aplicar Simpson com n=8 (passos de h=0,125), que já dá boa precisão sem cálculos de máquina. Abaixo estão os valores usados (alguns obtidos a partir de frações exatas para maior confiabilidade):
Nós precisamos de f(t) em:
t=1,\;1{,}125,\;1{,}25,\;1{,}375,\;1{,}5,\;1{,}625,\;1{,}75,\;1{,}875,\;2.
Cálculo (apresentando os valores numéricos arredondados):
\begin{aligned} f(1)&=\sqrt{6}\approx 2{,}449489743,\\\ f(1{,}125)&\approx 2{,}545185,\\\ f(1{,}25)&\approx 2{,}701777,\\\ f(1{,}375)&\approx 2{,}893315,\\\ f(1{,}5)&\approx 3{,}105153,\\\ f(1{,}625)&\approx 3{,}328398,\\\ f(1{,}75)&\approx 3{,}560691,\\\ f(1{,}875)&\approx 3{,}799720,\\\ f(2)&\approx 4{,}039049. \end{aligned}
Agora aplicamos a fórmula de Simpson com h=0{,}125:
L\approx \frac{0{,}125}{3}\Bigl(f(1)+4\bigl[f(1{,}125)+f(1{,}375)+f(1{,}625)+f(1{,}875)\bigr] +2\bigl[f(1{,}25)+f(1{,}5)+f(1{,}75)\bigr]+f(2)\Bigr).
Substituindo os números (já agrupados) obtém-se, calculando passo a passo, o valor aproximado
L\approx 3{,}14543\quad(\text{aproximado}).
(Usei n=8 porque dá boa precisão prática; aumentar n melhora ainda mais a aproximação, mas o valor acima já está correto com erro muito pequeno, da ordem de 10^{-4}.)

Passo 8

Interpretação final e dica de prova: em provas normalmente pede-se (i) montar a integral do comprimento e (ii) tentar simplificar. Aqui a integral fica
L=\int_{1}^{2}\sqrt{4t^{2}+\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{1}{t^{4}}}\,dt,
que é a forma exata. Se o avaliador quiser um valor numérico, usa-se uma regra numérica (Simpson, trapezoidal refinado, ou cálculo por computador). A resposta numérica com boa precisão é dada acima.

Resposta

L\approx 3{,}14543

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