Este é o valor exato do comprimento escrito como integral. Sempre que houver uma raiz de soma de potências assim, é natural tentar simplificar algébrica ou encontrar uma primitiva. Vamos tentar ver se a expressão pode ser simplificada.
Passo 6
Tentativa de simplificação algébrica (mostrando o raciocínio):
colocando sobre denominador comum t^{4} temos
Apesar dessa factorização, a integral resultante não se reduz a uma primitiva elementar óbvia (não fica na forma imediata de derivada de um radical simples). Ou seja, não há uma primitiva elementar simples que seja equivalente a escrever L em termos de funções elementares padrão sem recorrer a integrais especiais. Por isso, a abordagem prática é avaliar a integral numericamente com boa precisão (método que também é usado em provas quando a primitiva não é elementar).
Passo 7
Escolhi fazer uma aproximação numérica cuidadosa usando a Regra de Simpson (método numérico de integração). Explico o método de forma simples:
Dividimos o intervalo [1,2] em n subintervalos de largura h=(2-1)/n. Para n par, a Regra de Simpson aproxima
A função que estamos integrando é f(t)=\sqrt{4t^{2}+\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{1}{t^{4}}}, contínua e suave em [1,2], então Simpson converge rápido.
Vou aplicar Simpson com n=8 (passos de h=0,125), que já dá boa precisão sem cálculos de máquina. Abaixo estão os valores usados (alguns obtidos a partir de frações exatas para maior confiabilidade):
Substituindo os números (já agrupados) obtém-se, calculando passo a passo, o valor aproximado
L\approx 3{,}14543\quad(\text{aproximado}).
(Usei n=8 porque dá boa precisão prática; aumentar n melhora ainda mais a aproximação, mas o valor acima já está correto com erro muito pequeno, da ordem de 10^{-4}.)
Passo 8
Interpretação final e dica de prova: em provas normalmente pede-se (i) montar a integral do comprimento e (ii) tentar simplificar. Aqui a integral fica
que é a forma exata. Se o avaliador quiser um valor numérico, usa-se uma regra numérica (Simpson, trapezoidal refinado, ou cálculo por computador). A resposta numérica com boa precisão é dada acima.