Para a função f(x, y)=x^{2}+4 y^{2}, esboce e descreva as curvas de nível para os valores c=1,4,9.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+4y^{2} e pede que eu esboce e descreva as curvas de nível correspondentes aos valores c=1, c=4 e c=9.
Informações dadas:
  • A expressão da função é f(x,y)=x^{2}+4y^{2}.
  • Os níveis pedidos são c=1, c=4 e c=9.
O que é pedido:
  • Para cada c acima, encontrar a curva no plano (x,y) definida por f(x,y)=c, descrever sua forma (tipo de curva, centro, eixos, interceptos) e indicar como esboçá-la (tamanho relativo e posição).

Passo 2

O que é uma curva de nível (rapidamente, do jeito mais prático): para uma função de duas variáveis f(x,y), a curva de nível para o nível c é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
f(x,y)=c.
Essas curvas mostram, no plano, onde a função tem o mesmo valor c. Para resolver o problema, vou substituir f(x,y)=x^{2}+4y^{2} e resolver a equação
x^{2}+4y^{2}=c
para cada c pedido.

Passo 3

Transformando a equação em uma forma reconhecível de cônica. Começo com a equação geral do nível:
x^{2}+4y^{2}=c.
Divido ambos os lados por c (assumindo c>0, que é o caso aqui) para obter a forma padrão:
\frac{x^{2}}{c}+\frac{4y^{2}}{c}=1.
Reescrevendo o segundo termo como \dfrac{y^{2}}{c/4}:
\frac{x^{2}}{c}+\frac{y^{2}}{c/4}=1.
Essa é a equação padrão de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo na direção x igual a \sqrt{c} e semi-eixo na direção y igual a \sqrt{c/4}=\dfrac{\sqrt{c}}{2}.
Resumo da forma:
  • Centro: (0,0).
  • Semi-eixo horizontal (no eixo x): a=\sqrt{c}.
  • Semi-eixo vertical (no eixo y): b=\dfrac{\sqrt{c}}{2}.
  • Equação equivalente: \dfrac{x^{2}}{(\sqrt{c})^{2}}+\dfrac{y^{2}}{(\sqrt{c}/2)^{2}}=1.

Passo 4

Calculo dos interceptos com os eixos (útil para desenhar a elipse) de forma direta:
  • Se y=0, da equação x^{2}+4\cdot 0^{2}=c vem x=\pm\sqrt{c}. Ou seja, interceptos em x=\pm\sqrt{c}.
  • Se x=0, da equação 0+4y^{2}=c vem y=\pm\sqrt{c}/2. Ou seja, interceptos em y=\pm\dfrac{\sqrt{c}}{2}.
Agora aplico isso aos três valores pedidos:
Para c=1:
  • a=\sqrt{1}=1.
  • b=\dfrac{\sqrt{1}}{2}=\dfrac{1}{2}.
  • Interceptos: x=\pm1, y=\pm \tfrac{1}{2}.
  • Equação explícita: x^{2}+4y^{2}=1.
Para c=4:
  • a=\sqrt{4}=2.
  • b=\dfrac{\sqrt{4}}{2}=\dfrac{2}{2}=1.
  • Interceptos: x=\pm2, y=\pm1.
  • Equação explícita: x^{2}+4y^{2}=4.
Para c=9:
  • a=\sqrt{9}=3.
  • b=\dfrac{\sqrt{9}}{2}=\dfrac{3}{2}=1{,}5.
  • Interceptos: x=\pm3, y=\pm 1{,}5.
  • Equação explícita: x^{2}+4y^{2}=9.

Passo 5

Descrição geométrica e comparação entre as três curvas:
  • Todas são elipses centradas na origem e alinhadas com os eixos coordenados (sem rotação).
  • À medida que c cresce, a elipse cresce de maneira homogênea: os semi-eixos aumentam proporcionalmente a \sqrt{c}. Assim, as três elipses são semelhantes e concentricas (mesmo centro e mesmas direções de eixos), apenas com tamanhos diferentes.
  • Ordenando do menor para o maior: para c=1 a elipse é a menor (vai até x=\pm1, y=\pm0,5); para c=4 é intermediária (vai até x=\pm2, y=\pm1); para c=9 é a maior (vai até x=\pm3, y=\pm1{,}5).
Como esboçar:
  • Desenhar o sistema de eixos.
  • Marcar os interceptos correspondentes a cada c e traçar uma elipse suave passando por esses quatro pontos ( \pm a,0 e 0,\pm b).
  • Repetir para os três c; será um conjunto de elipses alongadas na direção x, com mesmo centro.

Passo 6

Observação útil para prova: relação com o gradiente (intuição sobre “direção de subida” da função).
  • O gradiente é \nabla f(x,y)=(2x,8y).
  • Propriedade: \nabla f é sempre perpendicular à curva de nível em cada ponto. Isso significa que em cada ponto da elipse a direção de maior aumento de f é normal à elipse.
  • Exemplos rápidos: no ponto (\sqrt{c},0) o gradiente é (2\sqrt{c},0) (apontando horizontalmente para fora), enquanto no ponto (0,\sqrt{c}/2) o gradiente é (0,8\cdot(\sqrt{c}/2))=(0,4\sqrt{c}) (apontando verticalmente para fora).

Resposta

Para c=1: elipse centrada em (0,0) com equação \;x^{2}+4y^{2}=1\;, semi-eixos a=1 (horizontal) e b=\tfrac{1}{2} (vertical); interceptos x=\pm1, y=\pm\tfrac{1}{2}.
Para c=4: elipse centrada em (0,0) com equação \;x^{2}+4y^{2}=4\;, semi-eixos a=2 (horizontal) e b=1 (vertical); interceptos x=\pm2, y=\pm1.
Para c=9: elipse centrada em (0,0) com equação \;x^{2}+4y^{2}=9\;, semi-eixos a=3 (horizontal) e b=\tfrac{3}{2} (vertical); interceptos x=\pm3, y=\pm\tfrac{3}{2}.

Exercícios relacionados