Para a função
, esboce e descreva as curvas de nível para os valores
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu esboce e descreva as curvas de nível correspondentes aos valores
,
e
.
Informações dadas:
- A expressão da função é
. - Os níveis pedidos são
, e .
O que é pedido:
- Para cada
acima, encontrar a curva no plano definida por , descrever sua forma (tipo de curva, centro, eixos, interceptos) e indicar como esboçá-la (tamanho relativo e posição).
Passo 2
O que é uma curva de nível (rapidamente, do jeito mais prático): para uma função de duas variáveis
, a curva de nível para o nível
é o conjunto de pontos
que satisfazem
Essas curvas mostram, no plano, onde a função tem o mesmo valor
. Para resolver o problema, vou substituir
e resolver a equação
para cada
pedido.
Passo 3
Transformando a equação em uma forma reconhecível de cônica. Começo com a equação geral do nível:
Divido ambos os lados por
(assumindo
, que é o caso aqui) para obter a forma padrão:
Reescrevendo o segundo termo como
:
Essa é a equação padrão de uma elipse centrada na origem, com semi-eixo na direção
igual a
e semi-eixo na direção
igual a
.
Resumo da forma:
- Centro:
. - Semi-eixo horizontal (no eixo
): . - Semi-eixo vertical (no eixo
): . - Equação equivalente:
.
Passo 4
Calculo dos interceptos com os eixos (útil para desenhar a elipse) de forma direta:
- Se
, da equação vem . Ou seja, interceptos em . - Se
, da equação vem . Ou seja, interceptos em .
Agora aplico isso aos três valores pedidos:
Para
:
-
. -
. - Interceptos:
, . - Equação explícita:
.
Para
:
-
. -
. - Interceptos:
, . - Equação explícita:
.
Para
:
-
. -
. - Interceptos:
, . - Equação explícita:
.
Passo 5
Descrição geométrica e comparação entre as três curvas:
- Todas são elipses centradas na origem e alinhadas com os eixos coordenados (sem rotação).
- À medida que
cresce, a elipse cresce de maneira homogênea: os semi-eixos aumentam proporcionalmente a . Assim, as três elipses são semelhantes e concentricas (mesmo centro e mesmas direções de eixos), apenas com tamanhos diferentes. - Ordenando do menor para o maior: para
a elipse é a menor (vai até , ); para é intermediária (vai até , ); para é a maior (vai até , ).
Como esboçar:
- Desenhar o sistema de eixos.
- Marcar os interceptos correspondentes a cada
e traçar uma elipse suave passando por esses quatro pontos ( e ). - Repetir para os três
; será um conjunto de elipses alongadas na direção , com mesmo centro.
Passo 6
Observação útil para prova: relação com o gradiente (intuição sobre “direção de subida” da função).
- O gradiente é
. - Propriedade:
é sempre perpendicular à curva de nível em cada ponto. Isso significa que em cada ponto da elipse a direção de maior aumento de é normal à elipse. - Exemplos rápidos: no ponto
o gradiente é (apontando horizontalmente para fora), enquanto no ponto o gradiente é (apontando verticalmente para fora).
Resposta
Para
: elipse centrada em
com equação
, semi-eixos
(horizontal) e
(vertical); interceptos
,
.
Para
: elipse centrada em
com equação
, semi-eixos
(horizontal) e
(vertical); interceptos
,
.
Para
: elipse centrada em
com equação
, semi-eixos
(horizontal) e
(vertical); interceptos
,
.