Considere a integral I=\int_{0}^{\sqrt{\frac{255}{4}}} \int_{\frac{2 x^{2}}{15}}^{8+\sqrt{64-x^{2}}} x y^{1} d y d x
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas, \boldsymbol{I} deve ser escrita como uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i) y \in[0, □ ]
ii) x \in[0, □ ]
Para a segunda integral:
iii) y \in[ □ , □ ].
iv) x \in[0, □ ]
b) Ao transformar I para coordenadas polares, também é necessário usar uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral em polares:
i) \theta \in[0, □ ]
ii) r \in[0, □ ]
Para a segunda integral em polares:
iii) \theta \in[ □ , □ ]
iv) r \in[0, □ ]
Além disso, a transformação do integrando em coordenadas polares é tal que
f(x, y) d y d x=x y^{1} d y d x=\square d r d \theta

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A integral dada é
I=\int_{0}^{\sqrt{\frac{255}{4}}}\int_{\frac{2x^{2}}{15}}^{\,8+\sqrt{64-x^{2}}} x\,y\,dy\,dx.
  • A região D no plano (x,y) é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le \sqrt{\tfrac{255}{4}},\; \tfrac{2x^{2}}{15}\le y\le 8+\sqrt{64-x^{2}}\}.
  • O enunciado pede duas coisas:
    a) ao inverter a ordem de integração (cartesiano), escrever I como soma de integrais duplas e preencher os limites indicados;
    b) ao passar para coordenadas polares, também escrever I como soma de integrais e indicar os limites angulares e radiais e a forma do integrando transformado.

Passo 2

Determinar onde as curvas que limitam y se encontram (isso define onde precisamos separar integrais ao trocar a ordem).
As duas curvas são
y=\frac{2x^{2}}{15}\quad\text{(parábola)} \qquad\text{e}\qquad y=8+\sqrt{64-x^{2}}\quad\text{(círculo deslocado)}.áí
Para a interseção, igualamos:
\frac{2x^{2}}{15}=8+\sqrt{64-x^{2}}.
Faça a substituição u=\sqrt{64-x^{2}} (então x^{2}=64-u^{2}). Assim
\frac{2(64-u^{2})}{15}=8+u.
Multiplicando por 15:
2(64-u^{2})=15(8+u)\quad\Rightarrow\quad 128-2u^{2}=120+15u.
Reorganizando:
2u^{2}+15u-8=0.
Calculamos o discriminante: \Delta=15^{2}-4\cdot2\cdot(-8)=225+64=289=17^{2}. As raízes:
u=\frac{-15\pm17}{4}.
A raiz positiva é u=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} (a outra é negativa e inválida para u=\sqrt{\cdot}). Então
\sqrt{64-x^{2}}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=64-\frac{1}{4}=\frac{255}{4}.
Como x\ge0 na região, a interseção ocorre em
x=\sqrt{\frac{255}{4}},\qquad y=\frac{2x^{2}}{15}=\frac{2}{15}\cdot\frac{255}{4}=\frac{51}{6}=\frac{17}{2}.

Passo 3

Determinar a projeção da região sobre o eixo y e como o intervalo em y deve ser partido para inverter a ordem.
  • Em x=0 a curva inferior dá y=\tfrac{2\cdot0^{2}}{15}=0 e a curva superior dá y=8+\sqrt{64}=16. Assim o intervalo total em y é [0,16].
  • Para inverter a ordem, para cada y queremos os x\ge0 tais que \tfrac{2x^{2}}{15}\le y\le 8+\sqrt{64-x^{2}}.
    • A desigualdade \tfrac{2x^{2}}{15}\le y é equivalente a x\le\sqrt{\dfrac{15}{2}y}.
    • A desigualdade y\le 8+\sqrt{64-x^{2}} é equivalente (quando y>8) a x\le\sqrt{64-(y-8)^{2}}. Se y\le8 esta segunda desigualdade é automática (pois \sqrt{64-x^{2}}\ge0\ge y-8).
  • Para saber qual das duas expressões em x é a limitante ativa é preciso comparar a(y)=\sqrt{\dfrac{15}{2}y}\qquad\text{e}\qquad b(y)=\sqrt{64-(y-8)^{2}}.Calculando onde elas se igualam obtém-se exatamente o valor de y da interseção já encontrado: y=\dfrac{17}{2}. Para 0\le y\le \dfrac{17}{2} tem-se a(y)\le b(y), e para \dfrac{17}{2}\le y\le 16 tem-se b(y)\le a(y). (Logo a partição em y é em y= \tfrac{17}{2}.)

Passo 4

Escrever a inversão da ordem (cartesiana) como soma de duas integrais, usando os resultados do passo anterior:
  • Para 0\le y\le \dfrac{17}{2} o limite em x é 0\le x\le \sqrt{\dfrac{15}{2}y}.
  • Para \dfrac{17}{2}\le y\le 16 o limite em x é 0\le x\le \sqrt{64-(y-8)^{2}}.
Portanto I escrito com ordem dy\,dx invertida resulta na soma de duas integrais com esses limites.

Passo 5

Transformação para coordenadas polares. Primeiro reescrever as curvas em polares (x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta).
  • A parábola y=\dfrac{2x^{2}}{15} fica
r\sin\theta=\frac{2}{15}r^{2}\cos^{2}\theta.
Para r>0:
r=\frac{15}{2}\,\frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}.
  • A curva y=8+\sqrt{64-x^{2}} corresponde ao círculo
x^{2}+(y-8)^{2}=64.
Em polares:
r^{2}\cos^{2}\theta+(r\sin\theta-8)^{2}=64\quad\Rightarrow\quad r^{2}-16r\sin\theta=0,
ou seja r=0 ou
r=16\sin\theta.

Passo 6

Determinar os limites angulares onde cada curva é a limitante radial.
  • A região está no primeiro quadrante (porque x\ge0 e y\ge0), logo \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • As duas curvas em termos de r são
r_{p}(\theta)=\frac{15}{2}\,\frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}, \qquad r_{c}(\theta)=16\sin\theta.
Igualando r_{p}=r_{c} (cancelando \sin\theta>0) obtemos
\frac{15}{2\cos^{2}\theta}=16\quad\Rightarrow\quad \cos^{2}\theta=\frac{15}{32}.
Assim \sin^{2}\theta=1-\tfrac{15}{32}=\tfrac{17}{32}, e o ângulo de interseção é
\theta_{0}=\arctan\!\left(\sqrt{\tfrac{17}{15}}\right)
(ou equivalentemente \theta_{0}=\operatorname{arccos}\!\left(\sqrt{\tfrac{15}{32}}\right)), que pertence a (0,\tfrac{\pi}{2}).
  • Para 0\le\theta\le\theta_{0} temos r_{p}(\theta)\le r_{c}(\theta), então o limite radial vai de 0 até r_{p}(\theta).
  • Para \theta_{0}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2} temos r_{c}(\theta)\le r_{p}(\theta), então o limite radial vai de 0 até r_{c}(\theta).

Passo 7

Transformação do integrando: em polares x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta e o elemento de área é dx\,dy=r\,dr\,d\theta. Então
x\,y\,dy\,dx = (r\cos\theta)(r\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.

Resposta

(a)i) \displaystyle y\in\left[0,\frac{17}{2}\right]
(a)ii) \displaystyle x\in\left[0,\sqrt{\dfrac{15}{2}y}\right]
(a)iii) \displaystyle y\in\left[\frac{17}{2},16\right]
(a)iv) \displaystyle x\in\left[0,\sqrt{64-(y-8)^{2}}\right]
(b)i) \displaystyle \theta\in\left[0,\arctan\!\left(\sqrt{\dfrac{17}{15}}\right)\right]
(b)ii) \displaystyle r\in\left[0,\frac{15}{2}\,\frac{\sin\theta}{\cos^{2}\theta}\right]
(b)iii) \displaystyle \theta\in\left[\arctan\!\left(\sqrt{\dfrac{17}{15}}\right),\frac{\pi}{2}\right]
(b)iv) \displaystyle r\in\left[0,16\sin\theta\right]
Transformação do integrando: \displaystyle x y\,dy\,dx = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta

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