Considere a integral
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas,
deve ser escrita como uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral:
i)
, □ ]
ii)
, □ ]
Para a segunda integral:
iii)
□ , □ ].
iv)
, □ ]
b) Ao transformar
para coordenadas polares, também é necessário usar uma soma de integrais duplas.
Os limitantes de integração dessas integrais são:
Para a primeira integral em polares:
i)
, □ ]
ii)
, □ ]
Para a segunda integral em polares:
iii)
□ , □ ]
iv)
, □ ]
Além disso, a transformação do integrando em coordenadas polares é tal que
para responder aos itens abaixo:
a) Ao inverter a ordem de integração, em coordenadas cartesianas,
Para a primeira integral:
i)
ii)
iii)
iv)
b) Ao transformar
Para a primeira integral em polares:
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- A integral dada é
- A região
no plano é
- O enunciado pede duas coisas:
a) ao inverter a ordem de integração (cartesiano), escrevercomo soma de integrais duplas e preencher os limites indicados;
b) ao passar para coordenadas polares, também escrevercomo soma de integrais e indicar os limites angulares e radiais e a forma do integrando transformado.
Passo 2
Determinar onde as curvas que limitam
se encontram (isso define onde precisamos separar integrais ao trocar a ordem).
As duas curvas são
Para a interseção, igualamos:
Faça a substituição
(então
). Assim
Multiplicando por
:
Reorganizando:
Calculamos o discriminante:
. As raízes:
A raiz positiva é
(a outra é negativa e inválida para
). Então
Como
na região, a interseção ocorre em
Passo 3
Determinar a projeção da região sobre o eixo
e como o intervalo em
deve ser partido para inverter a ordem.
- Em
a curva inferior dá e a curva superior dá . Assim o intervalo total em é . - Para inverter a ordem, para cada
queremos os tais que . - A desigualdade
é equivalente a . - A desigualdade
é equivalente (quando ) a . Se esta segunda desigualdade é automática (pois ).
- A desigualdade
- Para saber qual das duas expressões em
é a limitante ativa é preciso comparar Calculando onde elas se igualam obtém-se exatamente o valor de da interseção já encontrado: . Para tem-se , e para tem-se . (Logo a partição em é em .)
Passo 4
Escrever a inversão da ordem (cartesiana) como soma de duas integrais, usando os resultados do passo anterior:
- Para
o limite em é . - Para
o limite em é .
Portanto
escrito com ordem
invertida resulta na soma de duas integrais com esses limites.
Passo 5
Transformação para coordenadas polares. Primeiro reescrever as curvas em polares
.
- A parábola
fica
Para
:
- A curva
corresponde ao círculo
Em polares:
ou seja
ou
Passo 6
Determinar os limites angulares onde cada curva é a limitante radial.
- A região está no primeiro quadrante (porque
e ), logo . - As duas curvas em termos de
são
Igualando
(cancelando
) obtemos
Assim
, e o ângulo de interseção é
(ou equivalentemente
), que pertence a
.
- Para
temos , então o limite radial vai de até . - Para
temos , então o limite radial vai de até .
Passo 7
Transformação do integrando: em polares
e o elemento de área é
. Então
Resposta
(a)i)
(a)ii)
(a)iii)
(a)iv)
(a)ii)
(a)iii)
(a)iv)
(b)i)
(b)ii)
(b)iii)
(b)iv)
(b)ii)
(b)iii)
(b)iv)
Transformação do integrando: