Para resolver a integral dupla I=\int_{-5}^{5} \int_{0}^{\sqrt{25-x^{2}}} 21 \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x, convém utilizar coordenadas polares.
Ao transformar I para polares, obtém-se uma única integral dupla cujos limitantes de integração são:
\begin{aligned} & \theta \in[0, \square] \\\ & r \in[0, \square] \end{aligned}
Além disso, após transformar o integrando, juntamente com o diferencial de área, obtém-se que
21 \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x=\square d r d \theta
Por fim, resolvendo a integral obtida em polares, encontra-se que o valor numérico de I é dado por
I=\square

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
I=\int_{-5}^{5}\int_{0}^{\sqrt{25-x^{2}}}21\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dy\;dx.
O que o enunciado pede (os espaços a preencher) é:
  • o valor superior do intervalo de \theta na mudança para coordenadas polares;
  • o valor superior do intervalo de r na mudança para coordenadas polares;
  • a expressão equivalente a 21\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dy\;dx escrita como algo vezes dr\;d\theta;
  • o valor numérico final de I.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • a integração em y vai de 0 até \sqrt{25-x^{2}};
  • a integração em x vai de -5 até 5;
  • o integrando envolve \sqrt{x^{2}+y^{2}}, que é a distância ao origem.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares?
Quando o integrando depende de \sqrt{x^{2}+y^{2}} (a distância ao origem), é natural passar para coordenadas polares, porque aí \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e a expressão fica mais simples. Vou lembrar a transformação básica e o diferencial de área:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Aqui r é a distância do ponto (x,y) à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Essas são fórmulas padrão: cada par (r,\theta) dá um par (x,y) e o fator r aparece por causa da mudança de variáveis (Jacobiando a transformação).

Passo 3

Descrever a região de integração no plano (x,y) e traduzi-la para (r,\theta).
A região dada por
-5\le x\le 5,\qquad 0\le y\le \sqrt{25-x^{2}}
é a metade superior do disco de raio 5 centrado na origem (porque y\ge0 e x^{2}+y^{2}\le25). Em palavras: é o semicírculo fechado de raio 5 com y\ge0.
Em coordenadas polares:
  • a condição x^{2}+y^{2}\le25 vira r^{2}\le25, ou seja 0\le r\le5;
  • a condição y\ge0 equivale a r\sin\theta\ge0. Como r\ge0, isso significa \sin\theta\ge0, logo \theta varia de 0 até \pi.
Portanto os limites são
\theta\in[0,\pi],\qquad r\in[0,5].

Passo 4

Transformar o integrando e o diferencial dy\,dx para polares.
Primeiro note que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.
Multiplicando pelo diferencial de área dx\,dy=r\,dr\,d\theta, obtemos
21\cdot\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;dy\;dx = 21\cdot r\cdot (r\,dr\,d\theta) = 21\,r^{2}\;dr\;d\theta.
Ou seja, o integrando em polares fica 21\,r^{2}.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas polares com os limites encontrados e calcular.
A integral passa a ser
I=\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{5}21\,r^{2}\;dr\;d\theta.
Calcule primeiro a integral em r:
\int_{0}^{5}21\,r^{2}\;dr = 21\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{5} = 21\cdot\frac{125}{3} = 7\cdot125 = 875.
Agora integre em \theta:
\int_{0}^{\pi}875\;d\theta = 875\,[\theta]_{0}^{\pi} = 875\pi.
Portanto o valor numérico de I é 875\pi.

Resposta

\pi
5
21\,r^{2}
875\pi

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