Para resolver a integral dupla
, convém utilizar coordenadas polares.
Ao transformar
para polares, obtém-se uma única integral dupla cujos limitantes de integração são:
Além disso, após transformar o integrando, juntamente com o diferencial de área, obtém-se que
Por fim, resolvendo a integral obtida em polares, encontra-se que o valor numérico de
é dado por
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
O que o enunciado pede (os espaços a preencher) é:
- o valor superior do intervalo de
na mudança para coordenadas polares; - o valor superior do intervalo de
na mudança para coordenadas polares; - a expressão equivalente a
escrita como algo vezes ; - o valor numérico final de
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- a integração em
vai de até ; - a integração em
vai de até ; - o integrando envolve
, que é a distância ao origem.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares?
Quando o integrando depende de (a distância ao origem), é natural passar para coordenadas polares, porque aí
e a expressão fica mais simples. Vou lembrar a transformação básica e o diferencial de área:
Quando o integrando depende de
Aqui
é a distância do ponto
à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. Essas são fórmulas padrão: cada par
dá um par
e o fator
aparece por causa da mudança de variáveis (Jacobiando a transformação).
Passo 3
Descrever a região de integração no plano
e traduzi-la para
.
A região dada por
é a metade superior do disco de raio
centrado na origem (porque
e
). Em palavras: é o semicírculo fechado de raio
com
.
Em coordenadas polares:
- a condição
vira , ou seja ; - a condição
equivale a . Como , isso significa , logo varia de até .
Portanto os limites são
Passo 4
Transformar o integrando e o diferencial
para polares.
Primeiro note que
Multiplicando pelo diferencial de área
, obtemos
Ou seja, o integrando em polares fica
.
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas polares com os limites encontrados e calcular.
A integral passa a ser
Calcule primeiro a integral em
:
Agora integre em
:
Portanto o valor numérico de
é
.