Considere a integral dupla I=\int_{D} \int \frac{15 x e^{y}}{4} d y d x,
em que D é a região situada no primeiro quadrante que é delimitada pelas parábolas \boldsymbol{y}=\frac{5 \boldsymbol{x}^{2}}{2} e \boldsymbol{y}=\frac{\mathbf{3}}{2}-\frac{\mathbf{3} \boldsymbol{x}^{2}}{2}
para responder aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, \boldsymbol{I} pode ser escrita como uma única integral dupla, cujos limitantes de integração são:
i) x \in[0, □ ]
ii) y \in[ □ , □ ].
b) Tomando y como variável independente, I deve ser escrita como uma soma de duas integrais duplas, cujos limitantes de integração são, respectivamente:
Para a primeira integral
i) y \in[0, □ ]
ii) x \in[0, □ ]
Para a segunda integral:
iii) y \in[ □ , □ ].
\text { iv) } x \in[0, \square]
c) O valor numérico de I é dado por I=
□ .
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
I=\iint_{D}\frac{15x e^{y}}{4}\,dy\,dx,
onde D é a região no primeiro quadrante (ou seja, x\ge0 e y\ge0) limitada pelas parábolas
(a) Escrever I com x como variável independente: preencher os limites i)\;x\in[0,\;\square] e ii)\;y\in[\square,\;\square].
(b) Escrever I com y como variável independente, mostrando que é soma de duas integrais; para a primeira integral preencher i)\;y\in[0,\;\square] e ii)\;x\in[0,\;\square]; para a segunda preencher iii)\;y\in[\square,\;\square] e iv)\;x\in[0,\;\square].
(c) Calcular numericamente I e preencher o valor final.
Todas as fórmulas e passos de cálculo virão nos passos seguintes.
Passo 2
Encontrar a interseção das curvas (ponto onde trocam de lugar os limites): igualar as duas expressões de y,
\frac{5x^{2}}{2}=\frac{3}{2}-\frac{3x^{2}}{2}.
Resolver para x^{2}. Somando \tfrac{3x^{2}}{2} aos dois lados:
\frac{5x^{2}}{2}+\frac{3x^{2}}{2}=\frac{3}{2}
\frac{8x^{2}}{2}=\frac{3}{2}
4x^{2}=\frac{3}{2}
x^{2}=\frac{3}{8}.
Como estamos no primeiro quadrante tomamos a raiz positiva:
x=\sqrt{\frac{3}{8}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.
O valor de y no ponto de interseção (substituindo numa das curvas) é
Resumo útil (pegado das curvas dadas): ponto de interseção em \left(\sqrt{\tfrac{3}{8}},\;\tfrac{15}{16}\right).
Passo 3
Montar a integral com x como variável independente (ou seja, integração em y primeiro, depois em x).
Para cada x entre 0 e a abscissa de interseção \sqrt{\tfrac{3}{8}}, a ordenada y varia entre a parábola inferior y=\tfrac{5x^{2}}{2} e a parábola superior y=\tfrac{3}{2}-\tfrac{3x^{2}}{2}. Logo os limites são:
portanto x vai de 0 até o menor entre \sqrt{\tfrac{2y}{5}} e \sqrt{1-\tfrac{2y}{3}}. O ponto onde esses dois limites se igualam é justamente a interseção que encontramos em y=\tfrac{15}{16}. Assim ao variar y desde 0 até o máximo onde ainda há pontos da região (que é y=\tfrac{3}{2}, pois a curva superior atinge y=\tfrac{3}{2} em x=0), o limite superior em x troca em y=\tfrac{15}{16}. Portanto é preciso dividir em duas integrais:
para 0\le y\le\tfrac{15}{16} o menor dos dois é \sqrt{\tfrac{2y}{5}}, logo x\in[0,\sqrt{\tfrac{2y}{5}}];
para \tfrac{15}{16}\le y\le\tfrac{3}{2} o menor dos dois é \sqrt{1-\tfrac{2y}{3}}, logo x\in[0,\sqrt{1-\tfrac{2y}{3}}].
Isso responde o item (b) em termos dos limites.
Passo 5
Escrever explicitamente as duas integrais (com y primeiro) que somam para I:
Essas duas somadas dão I. Observação: as duas formas (integrando em x primeiro ou em y primeiro) são equivalentes; vou escolher a forma com integração em y interna (já escrita no Passo 3) para calcular I de forma mais direta.
Passo 6
Calcular I usando a ordem dy interno e dx externo (como em Passo 3). Começamos integrando em y:
Agora separamos em duas integrais e resolvemos cada uma. Para integrar termos do tipo x e^{k x^{2}} usamos a substituição u=x^{2}, então du=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Aplicando isso:
Primeiro termo:
\int_{0}^{a} x e^{\tfrac{3}{2}-\tfrac{3x^{2}}{2}}\,dx = e^{\tfrac{3}{2}}\int_{0}^{a} x e^{-\tfrac{3x^{2}}{2}}\,dx
com a=\sqrt{\tfrac{3}{8}}. Usando u=x^{2}:
\int x e^{-\tfrac{3}{2}x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{-\tfrac{3}{2}u}\,du =\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{\tfrac{3}{2}}\right)e^{-\tfrac{3}{2}u} =-\frac{1}{3}e^{-\tfrac{3}{2}x^{2}}.
Portanto, para os limites:
\int_{0}^{a} x e^{\tfrac{3}{2}-\tfrac{3x^{2}}{2}}\,dx =\left[-\frac{1}{3}e^{\tfrac{3}{2}-\tfrac{3x^{2}}{2}}\right]_{0}^{a} =-\frac{1}{3}\left(e^{\tfrac{3}{2}-\tfrac{3a^{2}}{2}}-e^{\tfrac{3}{2}}\right).
Segundo termo:
\int_{0}^{a} x e^{\tfrac{5x^{2}}{2}}\,dx
com a mesma substituição u=x^{2} dá
\int x e^{\tfrac{5}{2}x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{\tfrac{5}{2}u}\,du =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\tfrac{5}{2}}e^{\tfrac{5}{2}u} =\frac{1}{5}e^{\tfrac{5}{2}x^{2}},
então
\int_{0}^{a} x e^{\tfrac{5x^{2}}{2}}\,dx=\left[\frac{1}{5}e^{\tfrac{5x^{2}}{2}}\right]_{0}^{a} =\frac{1}{5}\left(e^{\tfrac{5a^{2}}{2}}-1\right).
Agora usar a^{2}=\dfrac{3}{8}. Calcular os expoentes: